Récurrence transfinie : aménagement licite ? — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Récurrence transfinie : aménagement licite ?

Bonjour
Dans une démonstration s'appuyant sur une récurrence transfinie.

1°) Un ensemble bien ordonné possède toujours un plus petit élément mais l'auteur s'autorise à considérer que l'ensemble bien ordonné peut être muni d'un élément maximum.
2°) Un élément générique à un successeur immédiat pourtant l'auteur considère naturelle l'existence de son prédécesseur immédiat

Ces deux aménagements sont-ils licites aux yeux des experts logiciens du forum ?
Au plaisir de lire vos réponses.

Réponses

  • Bonjour ludo,

    J'ai l'impression que l'auteur dont tu causes a ordonné son ensemble à l'envers. C'est un peu comme si tu disais que $0 >1>2>...>n>...> \omega > \omega+1...$

    Je t'explique la récurrence transfinie quand on la fait "dans le bon sens". J'appelle $0$ le plus petit élément :
    1) Montrer que $0$ satisfait la propriété.
    2) Si $\alpha$ a un prédécesseur immédiat $\beta$ et si $\beta$ satisfait la propriété, alors $\alpha$ la satisfait.
    3) Si $\lambda$ est limite (i.e. s'il n'a pas de prédécesseur immédiat) et si la propriété est vraie pour tout $\alpha < \lambda$, alors elle est vraie pour $\lambda$.
    Si ces 3 conditions sont satisfaites, alors tu peux en déduire que la propriété est vraie partout.

    Evidemment, dans le cas de ton auteur il faut remplacer $<$ par $>$, prédécesseur par successeur etc.

    Mais quelle idée de vouloir faire une récurrence transfinie à l'envers !
  • Bonsoir

    Je ne peux raisonnablement pas me prononcer en vertu des éléments qui nous sont fournis par l'auteur du fil. Ce serait bien d'avoir le texte intégral pour émettre une réponse valable et non supposée.

    Par exemple, dans ton texte est-il fait mention d'ensemble inductif ? d'élément maximal ? (...)

    Bien cordialement,

    Thierry
  • @Thierry : tu es plus prudent que moi. Je me suis contenté d'intuiter, et peut-être suis-je complètement à côté de la plaque...
  • @Martial : bonsoir. Tu as bien fait de proposer ta vision des choses. Lorsque j'intervenais sur l'ilemaths, il m'arrivait souvent de proposer des réponses fondées sur une interprétation intuitive de tel ou tel énoncé mal formulé. Ce qui m'agaçait, c'était des réponses du style "Je suis désolé mais je me suis trompé. (...)" après un dur labeur.
  • @ludo: sois plus précis. Dans un bon ordre no nvide, oui il y a toujours un minimum, parfois un maximum, parfois non et certains éléments ont des prédécesseurs, d'autres non.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Voici la photo du texte il y est fait mention de la possibilité d'adjoindre un élément maximal et la considération d'un prédécesseur .
    .119040
  • C'est écrit explicitement "for the sake of convenience". Evidemment, si la preuve ne dépend pas du bon ordre choisi sur $A$, on peut en prendre un qui a un maximum (en supposant $A$ non vide, bien entendu)
  • @Maxtimax

    Merci mais c'est en fait l'affirmation de l'existence du prédécesseur immédiat pour tout élément j d'un ensemble bien ordonné qui me pose un problème car il n'y est fait nulle part mention dans la littérature consultée (contrairement au successeur immédiat d'un élément).

    Je considère A infini et poserais bien i = union des k< j mais est-ce correct et ne pourrait-on pas alors avoir i = j dans certains cas (par exemple si j est dénombrable)?

    J'en viens à me demander si ce théorème 14.13 est bien valide ...
  • C'est une des étapes de la récurrence transfinie: ou bien $j$ a un prédécesseur immédiat, ou bien il n'en a pas. La photo traite le premier cas; peut-être le second cas est-il laissé en exercice, ou traité juste après ?
  • Non hélas il n'y a que ce seul cas :-(

    Saurais-tu si le résultat à démontrer est valide ?
  • L'énoncé au sujet de l'égalité me semble suspect pour des extensions infinies: soit $L$ une extension algébrique séparable infinie non parfaite et $N$ une clôture algébrique de $K$. Alors d'après l'énoncé on aurait $|Emb_K(L,N)| = [L:K]$, le second étant infini, les deux le sont.

    Je rajoute alors un élément $\alpha \in N\setminus L$ inséparable sur $L$, pour obtenir $L(\alpha)$. Alors $[L(\alpha) : K] = [L:K]$ (parce que ce dernier est infini), et $ [L:K] = [L(\alpha):K] \geq |Emb_K(L(\alpha), N)|\geq |Emb_K(L,N)| \geq [L:K]$, ce qui donnerait donc une égalité et donc la séparabilité de $L(\alpha)$, absurde précisément par choix de $\alpha$. Bon je vais un peu vite sur quelques détails donc je me gourre peut-être mais ça me semble suspect pour des extensions infinies.
    Plus précisément c'est le "only if" qui me semble suspect.

    (et le cas fini est prouvé par récurrence)

    Quant à l'inégalité, elle me parait après réflexion suspecte aussi dans le cas infini. En effet, prenons par exemple $N=L = \overline{\mathbb Q}, K= \mathbb Q$. Alors le côté droit est dénombrable et le côté gauche indénombrable (le groupe de Galois absolu est profini et non fini, donc indénombrable).

    Donc je pense qu'il faut oublier cette preuve dans le cas infini et prétendre que tout est fini :-D
  • @Ludo : bonjour. Quels sont le titre de l'ouvrage et l'identité de l'auteur, s'il te plait ?
  • Karlheinz Spindler "Abstract algebra with applications" tome 2, très pertinent sur le reste du chapitre sur Galois
  • Je n'y connais rien à Galois, ai regardé vite fait, mais j'ai vaguement l'impression que c'est (ou pourrait être) "continu", ie qu'il n'y a rien à faire*** pour le cas limite (je dis ça pour aider à l'explication potentielle du fait que l'auteur a oublié de préciser ce qu'il se passe quand pas de prédécesseur, rien de plus, ne perdez pas votre temps à me faire un cours de théorie de Galois si je suis HS, ce serait trop gentil, car ne suis pas dispo pour la "supporter")

    *** les "embedding" qui bougent quelque chose (autre que l'identité) les bougent AVANT la limite.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christophe: oui mais malheureusement c'est pas continu pour les embedding justement
    (ce que tu dis était initialement mon hypothèse mais un peu de réflexion montre que le côté gauche est beaucoup trop gros en général; en fait c'est "co-continu" si tu veux, donc ça va être de type "produit" alors que le côté droit est de type "somme"; à partir de là aucune chance que ça passe à la limite)
  • Merci, je te crois sur parole!! ;-)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour tout le monde

    Je dépose ici un montage contenant notamment le lemme 13.14 et la définition 13.4. Il est possible de télécharger l'image et de la visionner en l'agrandissant.119166
  • Rebonjour

    Comme le montre la reproduction ci-jointe, la cas fini a déjà fait l'objet d'un traitement par l'auteur, avant de traiter le cas général (où $[L:K]\geqslant\mbox{card}(\Bbb{N})$).119182
  • Thierry : surprenant, car le cas général est faux comme je l'ai indiqué plus haut
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!