Degrés ludiques ?

Coucou, je me suis un peu renseigné sur ce résultat. Le papier est bien au-delà de mon champ de compétences et je n'ai aucune idée de si c'est correct. Cela dit, c'est une équipe qui publie beaucoup sur ces sujets-là depuis quelques années et ils ont l'air d'être super forts et de disposer d'une sacrée machinerie...

J'ai plus les idées toutes fraîches et j'espère que je vais pas dire de bêtises, mais voilà ce que j'en avais retenu. Attention, je traduis à l'arrache la nomenclature.

Je prends la "convention" (Christophe : :-D) que tout entier est l'ensemble des entiers qui lui sont strictement inférieurs.

L'objet d'étude, c'est les "matrices de corrélations". Fixons $n_A,m_A,n_B,m_B \in \mathbb{N}^*$. Un ensemble de corrélations est une application $p : n_A\times m_A \times n_B \times m_B \rightarrow \mathbb{R}$ qui est dite...

1) classique s'il existe un espace de probabilité $\Omega$, des variables aléatoires $(X_0,\cdots,X_{n_A-1})$ à valeurs dans $m_A$ et des variables aléatoires $(Y_0,\cdots,Y_{n_B-1})$ à valeurs dans $m_B$ telles que pour tout $i \in n_A$, $j \in n_B$, $x\in m_A$, $y\in m_B$, $p(i,j,x,y) = \mathbb{P}(X_i = x \ et\ Y_j = y)$ ;

2) quantique-fini-dimensionnel-tensoriel s'il existe deux Hilbert $H_A$, $H_B$ de dimensions finies, un état $\phi$ sur $H_A \otimes H_B$ et des observables, blablabla pareil que la 1) ;

3) quantique-tensoriel s'il existe deux Hilbert séparables blablabla pareil que 2) ;

4) quantique-limite-fini-dimensionnel-tensoriel si elle est dans l'adhérence de l'ensemble de celles dans 2) ;

5) quantique-limite-tensoriel si elle est dans l'adhérence de l'ensemble de celles dans 3) ;

6) quantique-commutant s'il existe un Hilbert $H$, un état $\phi$ dessus et deux familles d'observables (avec commutation bipartite, i.e. chaque observable d'une famille commute avec chaque observable de l'autre) et blablabla comme dans 2) ;

7) je sais pas quoi si je sais plus quoi.

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Le théorème de Bell (ou Kochen-Specker, enfin bon ce genre de trucs) affirme que 1) est strictement inclus dans tous ces ensembles ; tout plein de ces trucs sont contenus dans d'autres ; la conjecture/le problème de Connes consiste (est équivalent) à savoir si 5) = 6), et il y a d'autres inclusions dont on sait si ce sont des égalités ou pas.

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Le lien avec les garanties de Christophe, eh bien, c'est qu'une garantie, c'est un sous-ensemble de $n_A\times n_B\times m_A \times m_B$ et ici, c'est une fonction à valeurs réelles (en fait forcément entre $0$ et $1$) ; d'ailleurs, étant donnée une telle fonction, la garantie que Christophe considèrerait (je crois !) c'est le complémentaire de l'ensemble où elle est nulle.

D'ailleurs, Anatole et Christophe ont démontré (dans la thèse) un truc sur la co-énumérabilité des degrés FMQ avec la conjecture comme hypothèse. Mais, mon avis d'amateur est que l'intérêt du travail de Christophe est de voir que les FMQ et apparentés sont tout en bas de l'échelle, d'avoir inventé cette échelle (la réduction ludique), et d'explorer le reste ; alors que ce groupe de recherche-là examine le premier échelon au microscope.

Enfin, j'ai raconté à un spécialiste de tout ça le théorème de Christophe sur le non-déterminisme : il a été convaincu, mais il a dit qu'il fallait demander aux physiciens ce qu'ils en pensaient !