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Logique du second ordre

Salut à tous,

Une question qui m'est posée par un étudiant qui suit comme moi un cours de philo des maths à Paris 7.
On sait que l'arithmétique du second ordre est "catégorique" au sens où elle a un seul modèle, à isomorphisme près.

Question : est-ce un phénomène général ?

Ne connaissant pas grand-chose à la logique du second ordre j'ai préféré m'abstenir de répondre de façon catégorique (sans jeu de mots), même si je pense sincèrement que c'est faux.

Merci d'avance

Martial

Réponses

  • La théorie des corps archimédiens complets l'est aussi (il manque peut-être quelques adjectifs... mais c'est l'idée)

    Je ne sais pas trop ce qu'on peut dire sur la généralité, mais voilà une intuition potentielle sur quelques points : il n'y a pas de système déductif raisonnable (entendre : finitaire) qui soit à la fois sound et complet, comme on peut le voir en étudiant la théorie des bons ordres.

    Ce que je veux dire par là (mais ce n'est qu'une intuition, je n'ai pas du tout de théorème précis en tête), c'est que du coup, c'est moins facile en général de construire plein de modèles : au premier ordre c'est ultra simple, il suffit d'avoir une cohérence locale et donc à peu près dès que la théorie n'est pas trivialement catégorique, elle aura énormément de modèles (par ailleurs, au premier ordre, c'est difficile de forcer la catégoricité absolue); ce n'est plus le cas au second ordre, et donc on peut "s'attendre" (heuristiquement) à ce que le phénomène de la catégoricité y soit plus commun, plus répandu
  • Martial: je pense que tu parles des théories complètes. Et de toute façon non il y a pas de raisons du tout. Des indiscernables ne sont pas isomorphes, mais ont même cardinal dénombrable et même théorie du second ordre plein) et même du troisième quatrième etc :-D )
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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