composée de 2 rotations

giny · October 2005

Bonjour,
Je sais que la composée de 2 rotations de E (e. v. euclidien de dim3) est une rotation, mais je suis en train de me demander comment le démontrer. Ca me paraissait évident, mais en fait je vois pas trop. Donc je prends les devants avant ma khôlle !
Merci pour vos réponses.

dssg · October 2005

Cherche bien dans ton cours ! Cela dit, n'oublie pas que les rotations de $E$ (de dim. $3$) forment un {\em certain} sous-groupe de $GL(E)$.

giny · October 2005

Justement, je n'ai pas la démo dans mon cours dssg, c'est pour ça que je vous le demande...

naos · October 2005

Bonjour,

Il y a moyen de faire cela sans sous-groupes, ni complexes ou autres. Tout simplement en partant de la définition d'une rotation :
$M_1 = R_{(\Omega_1,\alpha)}(M)$ signifie :
$M_1\Omega =M\Omega$ et $(\vec{\Omega M},\vec{\Omega M_1}) = \alpha$

Et tu composes avec $R(\Omega_2,\beta)$ et constate que c'est une rotation d'angle $\alpha+\beta \equiv 2\pi$ . Cette méthode marche pour n'importe quelle dimension, et permet, si tu le souhaites, de retrouver le groupe (neutre, symétrique)

Cordialement

naos · October 2005

Correction :
"d'angle $\alpha+\beta \, \mod 2\pi$"

mais tout le monde avait compris

giny · October 2005

s'il vous plait, vous pouvez m'aider?

giny · October 2005

merci naos!

dssg · October 2005

Toute isométrie vectorielle $f$ de $E$ est la composée de 1, 2 ou 3 symétries hyperplanes (ou même de zéro sym. si $f$ est l'identité). Comme ces sym. hyperplanes ont $-1$ pour déterminant, seules les $f$ de déterminant $+1$ se décomposent en 0 ou 2 symétries : ce sont précisément les rotations. Cela m.q. $SO(E)$, ensemble des rotations, coïncide avec l'ensemble des isométries de déterminant $+1$. Donc, si $f$ et $g$ sont deux rotations et que $det(g\circ f)=1\times1=1$, cela m.q. $g\circ f$ est une rotation aussi, éventuellement en l'identité.

dssg · October 2005

Je ne suis pas sûr que la preuve de {\sc naos} marche en dimension $3$.

naos · October 2005

dssg : qu'est ce qui te fait douter ?
C'est la démo que je compte utiliser pour ma colle de la semaine prochaine, donc il vaudrait mieux pour moi qu'elle soit correcte. Donc si tu y vois une erreur, j'aimerai bien savoir où

Cordialement

Bruno · October 2005

Quand même, la démonstration la plus simple consiste à décomposer chaque rotation en produit de deux symétries planes. Si les deux rotations ont le même axe, aucun problème sans passer par la décomposition ; sinon : si $r$ est d'axe $D$, et si $r'$ est d'axe $D', désignons par $s$ la symétrie par rapport au plan défini par $D$ et $D'$ il existe deux symétries par rapport à des plans (que l'on peut préciser) tels que :
$$r = s \circ s', \quad r' = s'' \circ s$$
d'où l'on déduit $r' \circ r = s'' \circ s'$ ce qui est une rotation ou l'identité.

Par contre, naos n'a qu'esquissé une démonstration, et c'est tant mieux car la relation des angles est fausse dans l'espace (composez deux quarts de tour convenablement choisis dans un cube et vous obtenez un tiers de tour !

Bruno

Bruno · October 2005

Quand même, la démonstration la plus simple consiste à décomposer chaque rotation en produit de deux symétries planes. Si les deux rotations ont le même axe, aucun problème sans passer par la décomposition ; sinon : si $r$ est d'axe $D$, et si $r'$ est d'axe $D'$, désignons par $s$ la symétrie par rapport au plan défini par $D$ et $D'$ il existe deux symétries par rapport à des plans (que l'on peut préciser) tels que :
$$r = s \circ s', \quad r' = s'' \circ s$$d'où l'on déduit $r' \circ r = s'' \circ s'$ ce qui est une rotation ou l'identité.

Par contre, naos n'a qu'esquissé une démonstration, et c'est tant mieux car la relation des angles est fausse dans l'espace (composez deux quarts de tour convenablement choisis dans un cube et vous obtenez un tiers de tour !

Bruno

naos · October 2005

Effectivement, ta démonstration est de loin la plus simple !
Pour la mienne, je ne le savais pas. Même si après coup, c'est clair !
Mais alors, quelle est la relation dans l'espace ? Et en dimension n ?

dssg · October 2005

scripsit naos : dssg, qu'est ce qui te fait douter ?

justement, ta démo marche dans un {\bf plan} euclidien alors que la question est posée en dim. $3$, où il n'y a plus de {\em centre} pour une rotation. En outre, giny parle de rotations vectorielles alors que les tiennes sont affines (es-tu sûr que la composée de deux rotations affines planes d'angles opposés modulo $2\pi$ est bien une rotation ?)

cordialement, dssg

Bruno · October 2005

Il faut faire attention à ses réflexes, j'ai eu de la chance dans ma carrière de n'être pas tombé dans le piège des angles, mais je ne me suis aperçu que très tardivement que je manquais aux étudiants en ne leur signalant pas que l'angle d'une rotation n'est pas l'angle d'un vecteur et de son image dans l'espace.

Sérieusement, je ne me suis jamais posé la question d'une relation entre les angles des composantes et celui de la composée. D'abord parce que dans l'espace on ne peut pas parler d'angles orientés, ensuite parce qu'intuitivement, la méthode des plans montre qu'on à affaire à un trièdre dont on connaît deux dièdre et l'angle de la face commune à ces deux dièdres et dont il s'agit de déterminer le troisième. C'est un problème résolu qui ne m'a jamais attiré... Honte à moi pour ce manque de curiosité.

Bruno

naos · October 2005

Merci.

bisam0 · November 2005

La composée de 2 rotations est un déplacement ! Or en dim 3, les seuls déplacements sont les rotations et l'identité. Je trouve que c'est plus rapide !

composée de 2 rotations

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