composée de 2 rotations
dans Les-mathématiques
Bonjour,
Je sais que la composée de 2 rotations de E (e. v. euclidien de dim3) est une rotation, mais je suis en train de me demander comment le démontrer. Ca me paraissait évident, mais en fait je vois pas trop. Donc je prends les devants avant ma khôlle !
Merci pour vos réponses.
Je sais que la composée de 2 rotations de E (e. v. euclidien de dim3) est une rotation, mais je suis en train de me demander comment le démontrer. Ca me paraissait évident, mais en fait je vois pas trop. Donc je prends les devants avant ma khôlle !
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Réponses
Il y a moyen de faire cela sans sous-groupes, ni complexes ou autres. Tout simplement en partant de la définition d'une rotation :
$M_1 = R_{(\Omega_1,\alpha)}(M)$ signifie :
$M_1\Omega =M\Omega$ et $(\vec{\Omega M},\vec{\Omega M_1}) = \alpha$
Et tu composes avec $R(\Omega_2,\beta)$ et constate que c'est une rotation d'angle $\alpha+\beta \equiv 2\pi$ . Cette méthode marche pour n'importe quelle dimension, et permet, si tu le souhaites, de retrouver le groupe (neutre, symétrique)
Cordialement
"d'angle $\alpha+\beta \, \mod 2\pi$"
mais tout le monde avait compris
C'est la démo que je compte utiliser pour ma colle de la semaine prochaine, donc il vaudrait mieux pour moi qu'elle soit correcte. Donc si tu y vois une erreur, j'aimerai bien savoir où
Cordialement
$$r = s \circ s', \quad r' = s'' \circ s$$
d'où l'on déduit $r' \circ r = s'' \circ s'$ ce qui est une rotation ou l'identité.
Par contre, naos n'a qu'esquissé une démonstration, et c'est tant mieux car la relation des angles est fausse dans l'espace (composez deux quarts de tour convenablement choisis dans un cube et vous obtenez un tiers de tour !
Bruno
$$r = s \circ s', \quad r' = s'' \circ s$$d'où l'on déduit $r' \circ r = s'' \circ s'$ ce qui est une rotation ou l'identité.
Par contre, naos n'a qu'esquissé une démonstration, et c'est tant mieux car la relation des angles est fausse dans l'espace (composez deux quarts de tour convenablement choisis dans un cube et vous obtenez un tiers de tour !
Bruno
Pour la mienne, je ne le savais pas. Même si après coup, c'est clair !
Mais alors, quelle est la relation dans l'espace ? Et en dimension n ?
justement, ta démo marche dans un {\bf plan} euclidien alors que la question est posée en dim. $3$, où il n'y a plus de {\em centre} pour une rotation. En outre, giny parle de rotations vectorielles alors que les tiennes sont affines (es-tu sûr que la composée de deux rotations affines planes d'angles opposés modulo $2\pi$ est bien une rotation ?)
cordialement, dssg
Sérieusement, je ne me suis jamais posé la question d'une relation entre les angles des composantes et celui de la composée. D'abord parce que dans l'espace on ne peut pas parler d'angles orientés, ensuite parce qu'intuitivement, la méthode des plans montre qu'on à affaire à un trièdre dont on connaît deux dièdre et l'angle de la face commune à ces deux dièdres et dont il s'agit de déterminer le troisième. C'est un problème résolu qui ne m'a jamais attiré... Honte à moi pour ce manque de curiosité.
Bruno