coloriage trop compliqué !

giny · October 2005

Bonjour,
ma prof de spé nous a encore sorti un exo d'on ne sait où!
On dispose d'une roue de loterie comportant 10 secteurs non numérotés de même taille, et on souhaite colorier cette roue avec trois couleurs C1 C2 C3. De combien de manière peut-on le faire?
Et c'est là que l'indication fait le contraire de m'aider:
Indication: remarquer qu'un coloriage est entièrement déterminer par une application de {S1, S2,...Sn} dans {C1,C2,C3}, puis remarquer que deux applications définissent le même coloriage si elles appartiennent à une orbite dans une action de U9 sur l'ensemble des applications, action que l'on précisera. Et enfin, utiliser la formule de Burnside)
Même après m'être ceusé la tête pendant une heure, je n'y comprend rien!
Merci d'avance pour votre aide.

Probaloser · October 2005

Où en es-tu ?

giny · October 2005

C'est ironique ta question???
je n'arrive pas à résoudre, même avec ces supers indications, plus longues que l'énoncé!

giny · October 2005

pensez-vous que ce soit 10! la solution, cardinal des permutations d'un ensemble à 10elts?

P.Fradin0 · October 2005

Si vous faites tourner la roue, cela ne change pas son coloriage...

giny · October 2005

Ok Fradin, mais en quoi cela aide-t-il?
Je ne comprends toujours pas cet exo, je suis désemparée !

Bubulle · October 2005

Ce que je ferais :

1 - Je compte le nombre d'applications de $\{S_1,\ldots,S_{10}\}$ dans $\{C_1,C_2,C_3\}$. Ca doit faire $3^{10}$ puisqu'on a 3 possibilités pour chaque secteurs.

2 - Il faut maintenant remarquer que si on fait tourner la roue, ca donne le même coloriage. On définit l'action de groupe (Si $E$ est l'ensemble des fonctions définies en 1) :
$$\Z/10\Z \times E \mapsto E$$
défini par
$$(x.f)(s_n)\:\:=\:\:f(s_{n+x})$$
Cette action revient à faire tourner la roue (n+x est à prendre dans $\Z/10\Z$). Ainsi tous les x.f représéntent tous le même coloriage, donc tous les éléments d'une même orbite. Il y a 10 éléments dans chaque orbite. Comme il y a $3^{10}$ applications, il y a $\frac{3^{10}}{10}$ orbites, donc le même nombre de coloriage.

Ici c'est une action de $\Z/10\Z$ sur $E$ et pas de $U9$ (d'ailleurs qu'est ce que c'est que $U_9$ ?

giny · October 2005

voila pourquoi l'énoncé me perd; pour moi, U9 représente les racines neuvièmes de l'unité, et je vois pas le rapport avec l'exo...

Probaloser · October 2005

Ben non c'était pas ironique... As-tu l'action ? Si oui vois-tu où intervient la formule de Burnside ? Si oui vois-tu comment conclure ?

Désolé mais on peut être bloqué à différents endroits...

Cela dit je ne vois pas ce que viens faire $U_9$ là-dedans et il n'y a pas $10$ éléments dans chaque orbite.

Bubulle · October 2005

En fait faire agir $\Z/10\Z$ ou $U_{10}$ c'est pareil. Avec $U_{10}$ ca donne ca :

A chaque coloriage on associe une application $f$ de $U_{10}$ (un élément par section) dans $\{C_1,\ldots\}$, alors $$(x.f)(y)\:\:=\:\:f(x.y)$$ Il me semble que c'est $U_{10}$ qu'il faut faire agir et pas $U_9$ puisqu'il faut faire tourner la roue 10 fois pour la faire revenir au point de départ, mais bon, je dois me tromper certainement.

coloriage trop compliqué !

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