Endomorphisme symétrique
Bonjour
Je me pose des tas de questions sur l'exercice suivant (c'est un mines-pont Mp 2019).
$E=\R_n[X]$ est muni du produit scalaire : $$<P,Q>\,=\int_0^1P(t)Q(t)dt.
$$ Pour $P\in E$, on pose : $$u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt.
$$ 1. Montrer que $u$ est un automorphisme symétrique.
2. Pour $(B_0, B_1, \ldots, B_n)$ une base de valeurs propres de $u$, en notant $\alpha_k$ les valeurs propres associées, montrer que : $$\forall(x,y)\in\R^2,\qquad (x+y)^n=\sum_k\alpha_kB_k(x)B_k(y).
$$ 3. Calculer la trace de $u$.
Ça coince !
1. Ok pour le côté endomorphisme.
J'ai montré la symétrie de $u$ en travaillant sur les vecteurs de la base canonique de $E$.
Je n'ai pas trouvé d'argument pour la bijectivité...
2. Juste commencé.
Il me semble que si on pose $P=(X+y)^n$, alors $u(P)(x)=u(P)(y)$, donc $u(P)$ est constant.
Faut-il alors chercher à montrer que $u\big(\sum_k\alpha_kB_k(x)B_k(y)\big)$ est la même constante ?
Hum...
Merci pour vos coups de main !
Edit : l'énoncé correct...
$E=\R_n[X]$ est muni du produit scalaire : $$<P,Q>\,=\int_0^1P(t)Q(t)dt.
$$ Pour $P\in E$, on pose : $$u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt.
$$ 1. Montrer que $u$ est un automorphisme symétrique.
2. Pour $(B_0, B_1, \ldots, B_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres de $u$, en notant $\alpha_k$ les valeurs propres associées, montrer que : $$\forall(x,y)\in\R^2,\qquad (x+y)^n=\sum_k\alpha_kB_k(x)B_k(y).
$$ 3. Calculer la trace de $u$.
Je me pose des tas de questions sur l'exercice suivant (c'est un mines-pont Mp 2019).
$E=\R_n[X]$ est muni du produit scalaire : $$<P,Q>\,=\int_0^1P(t)Q(t)dt.
$$ Pour $P\in E$, on pose : $$u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt.
$$ 1. Montrer que $u$ est un automorphisme symétrique.
2. Pour $(B_0, B_1, \ldots, B_n)$ une base de valeurs propres de $u$, en notant $\alpha_k$ les valeurs propres associées, montrer que : $$\forall(x,y)\in\R^2,\qquad (x+y)^n=\sum_k\alpha_kB_k(x)B_k(y).
$$ 3. Calculer la trace de $u$.
Ça coince !
1. Ok pour le côté endomorphisme.
J'ai montré la symétrie de $u$ en travaillant sur les vecteurs de la base canonique de $E$.
Je n'ai pas trouvé d'argument pour la bijectivité...
2. Juste commencé.
Il me semble que si on pose $P=(X+y)^n$, alors $u(P)(x)=u(P)(y)$, donc $u(P)$ est constant.
Faut-il alors chercher à montrer que $u\big(\sum_k\alpha_kB_k(x)B_k(y)\big)$ est la même constante ?
Hum...
Merci pour vos coups de main !
Edit : l'énoncé correct...
$E=\R_n[X]$ est muni du produit scalaire : $$<P,Q>\,=\int_0^1P(t)Q(t)dt.
$$ Pour $P\in E$, on pose : $$u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt.
$$ 1. Montrer que $u$ est un automorphisme symétrique.
2. Pour $(B_0, B_1, \ldots, B_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres de $u$, en notant $\alpha_k$ les valeurs propres associées, montrer que : $$\forall(x,y)\in\R^2,\qquad (x+y)^n=\sum_k\alpha_kB_k(x)B_k(y).
$$ 3. Calculer la trace de $u$.
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Réponses
Pour la 1), en développant le binôme de Newton pour $(x+t)^{n}$ on a $u(P)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left \langle X^{n-k} \mid P \right \rangle X^{k}$ ce qui permet de voir que:
$\langle u(P)\mid Q\rangle=\int_0^1\int_0^1(u+t)^nP(t)Q(u)dt\,du,$
et l'on échange les variables $u$ et $t$.
Pour la bijection.
Après un coup de binôme, $u(P)=0=\sum C_n^kX^k\langle X^{n-k}\mid P\rangle\Longleftrightarrow\langle X^{n-k}\mid P\rangle=0,\ $ pour tout $k\leq n$.
Autrement dit $P\bot Vec\langle 1,\dots,X^n\rangle={\Bbb R}_n[X],\,$ donc $P=0$ par non dégénérescence du produit scalaire.
À suivre ...
[Guido Fubini (1879-1943) mérite le respect de son patronyme. AD]
ta première relation éclaire toute cette question effectivement !
Oui, c'est ce que j'ai fait, en me contentant de travailler sur $P=X^i$ et $Q=X^j$
(puis en évoquant la linéarité de $u$...)
On écrit $(X+Y)^n=P_Y(X)$ dans la base $B_k(X)$ qui est orthonormée :
$(X+Y)^n=\sum \langle P_Y\mid B_k\rangle B_k(X)$.
Maintenant : $\langle P_Y\mid B_k\rangle=\int_0^1P_Y(t)B_k(t)\,dt=\int_0^1(t+y)^nB_k(t)\,dt=u(B_k)(Y)=\alpha_k\,B_k(Y)$.
Très joli comme exo ! Je vais le poser en colle !
Je vérifiais l'énoncé, effectivement, les $B_k$ forment une base orthonormale (on sait que ça existe, mais l'énoncé stipule bien que la base proposée est orthonormée, ce que j'ai oublié de mentionner).
Y a-t-il autre chose à dire dans cette question 3 ?
(Mes élèves ont une très mauvaise influence sur moi ! je ne lis plus les énoncés X:-( )
Pour ce qui est de la trace je dirais :
$\mathrm{tr}(u)=\sum u_{ii}=\sum \langle u(X^k)\mid X^k\rangle=\sum C_n^k\langle X^{n-k}\mid X^k\rangle=\frac1{n+1}\sum C_n^k=\frac{2^n}{n+1},$
puisque $ \langle X^{n-k}\mid X^k\rangle=\int_0^1t^{n-k}t^k\,dt=\frac1{n+1}$
Je m'embrouille encore ou ce qui suit est correct ?
\begin{align*}
\mathrm{tr}(u)&=\sum_{i=0}^n < u(X^i) \mid X^i >
& \text{or}\\
u(X^i)& = \sum_{j=0}^n C^j_n < X^{n-j} \mid X^i > X^j,
&\text{donc} \\
\mathrm{tr}(u) &= \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n C^j_n < X^{n-j} \mid X^i > < X^j \mid | X^i >.
\end{align*}
L’énoncé est d'ailleurs bizarre : le 2 trébuche en parlant de valeurs propres au lieu de vecteurs propres, et vu qu'un vecteur propre comme $B_k$ pour la valeur propre $ \alpha_k$ est défini à une constante multiplicative près, il manque des hypothèses pour que la formule du 2 soit vraie.
Désolé, j'ai repris l'énoncé vite fait, et j'ai commis quelques erreurs...
Je l'édite.
Par ailleurs, je vais réfléchir à ce que tu dis...
Quant à la question 3, on trouve de deux façons différentes la trace.
La première méthode en calculant la trace de la matrice de $u$ dans la base canonique, comme initié par noradan... mais avec ce que je crois être une erreur car la base canonique n'est pas orthogonale pour ce produit scalaire donc on ne peut pas calculer les coefficients de la matrice de $u$ avec des produits scalaires.
La deuxième méthode consiste à utiliser la question précédente avec $y=x$ puis à intégrer le tout entre 0 et 1...
D'après ma feuille d'exercices, cet exercice a déjà été donné aux MP à Centrale en 2015 (RMS 126-2, exercice n° 676).
L'exercice ne demandait pas à l'époque de prouver que $u$ était bijectif... Je vais le rajouter !
J'ai repris le calcul, et je pense que noradan a raison,
(les justifications me semblaient obscures).
On écrit la matrice $M$ de $u$ dans la base canonique de $E$.
$u(X^k)=\sum_{j=0}^n C^j_n <X^{n-j} | X^k > X^j$.
On peut y lire les coefficients de la (k+1)ème colonne de $M$.
Le coef de cette colonne appartenant à la diagonale de $M$ est donc obtenu pour $j=k$ :
$$C^k_n<X^{n-k} | X^k> = \frac{C^k_n}{n+1}$$
$(2x)^n=\sum_k\alpha_kB_k(x)^2$
En intégrant sur $[0,1]$, et sachant que $\int_0^1B_k(x)^2 dx =1$ :
$$\mathrm{tr}(u)=\sum_{k=0}^n\alpha_k=\frac{2^n}{n+1}.
$$ Merci à tous !!
En particulier, peut-on prouver que toutes les valeurs propres sont distinctes ?
Qu'elles sont toutes strictement positives ?
Qu'elles sont toutes plus petites que 1, sauf une ?
Sous des hypothèses classiques ce sont des opérateur dits compacts à savoir
symétrique pour $L²$, positif, ayant des valeurs propres constituant une suite tendant vers 0, les espaces propres étant de dimension finie sauf 0. De mémoire je crois que ce sont des opérateurs que l'on retrouve en mécanique quantique.
La positivité est ici facile puisque $\langle u(P)|P\rangle=\int_0^1\int_0^1(X+t)^nP²(t)\,dt\geq0$.
C'est un résultats général que $K(x,y)=\sum\lambda_i\,f_i(x)\,f_i(y)$.
A la grande époque on les étudiait (à vérifier) en remplaçant les intégrales par des sommes de Riemann en résolvant via des coups de Cramer avec des déterminants partout et des passages à la limites plus que f...reux. Je crois que c'est pour les étudier que Riesz a "créé" la théorie des evn que l'on connait et démontré son théorème sur la compacité de la boule fermée.
Déterminer les valeurs propres de $u$ me semble une question subsidiaire intéressante
\[\langle P, u(P)\rangle=\int_0^1 \int_0^1 (x+t)^n P(t)P(x)\, dt\, dx\]
Je ne vois pas comment en conclure que l'endomorphisme est positif.
Mais je vais regarder du côté des opérateurs de Fredholm
Endomorphisme symétrique avec polynôme
Polynômes et orthogonalité
On obtient la trace de $u^2$.
La plus grande valeur propre est de l'ordre de $\dfrac{2^n}n$ comme conjecturé par JLT (ici), la plus petite valeur propre est de l'ordre de $-\dfrac{2^n}{4n^2}$.
La plupart des valeurs propres sont très proches de 0 mais pas toutes.
Si j'arrive à démontrer que les valeurs propres sont toutes distinctes je saurai démontrer la première conjecture de bisam (ici) :
$\forall k\in[0,n], B_k(1)^2=n+1$.
En tout cas, ça m'a donné envie de retourner travailler ces calculs.