Question variables aléatoires, indépendance

tgbne
tgbne
dans Probabilités, théorie de la mesure
Soit une urne contenant des jetons de 1 à n (avec n >=2). On note N la variable aléatoire égale au nombre de jetons tirés et Xi la variable aléatoire valant 1 si la poignée contient le jeton i et 0 sinon. On suppose aussi que la "taille" des poignées sont équiprobables, c'est-à-dire qui suit une loi uniforme sur {0,1,...,n}.

Je bloque pour calculer P(Xi=1 | N=k)

J'ai posé la formule P(Xi=1 | N=k) = (P(N=k, Xi=1))/P(N=k)
Le problème c'est que je n'arrive pas à calculer P(N=k, Xi=1).
Intuitivement, j'aurais tendance à dire que les variables N et Xi sont indépendantes et donc P(N=k, Xi=1) = P(N=k) x P(Xi=1).
Mais je ne suis vraiment pas sûre. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Je vous remercie.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Cela défie le bon sens de dire que $N$ et $X_i$ sont indépendantes. N'est-il pas naturel de penser que plus on tire de jetons, plus la proba de tirer un jeton donné augmente ?

    Voyons, sachant que $N=n$, quelle est la proba de tirer le jeton numéro 1 ? et sachant que $N=0$ ? et que $N=1$ ? Est-ce qu'elles peuvent vraiment être indépendantes ?

    Imagine la situation suivante : on tire $k$ jetons parmi $n$. Peux-tu alors calculer la proba que $X_i=1$ ? Ne peux-tu pas en déduire une probabilité de la forme $\mathbf{P}(X_i=1\mid\cdots)$ ?
  • tgbne
    tgbne
    En effet, je n'avais pas pensé comme ça. Maintenant ça me semble plus évident qu'ils ne peuvent pas être indépendants. Je vais désormais réfléchir au problème de trouver (P(N=k, Xi=1).Mais j'avoue que je ne vois pas comment pendant ce temps...
  • tgbne
    tgbne
    Voici ce que je pense :

    pour tout k de {1,...,n},

    P(N=k, Xi=1) = k/n ? car plus la poignée contient de jetons numérotés de 1 à n, plus on a de chance de trouver Xi = 1. Cela revient à calculer la probabilité de Card(k)/Card(n)

    j'avais trouvé : P(N=k) = 1/n car les tailles des poignées sont équiprobables. Est-ce que déjà ce résultat est bon ?

    Quand je pose le calcul,

    P(Xi=1 | N=k) = (P(N=k, Xi=1))/P(N=k)

    Je trouve P(Xi=1 | N=k) = k. C'est impossible. Du coup, je suis trompée mais je n'arrive pas à trouver le bon raisonnement. Il faut utiliser les lois de Bernoulli ou binomiale ? Mais je ne vois pas en quoi elles correspondent à cette expérience.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonsoir,

    Un peu de bon sens !
    Tu tires au hasard k jetons parmi les n. Quelle est la probabilité qu'il y ait le jeton n° i parmi ces k jetons ?
    Cette probabilité, c'est la probabilité de tirer le jeton i sachant qu'on a tiré k jetons.
  • tgbne
    tgbne
    P(Xi=1 | N=k) = k/n ?
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