Lemme de Borel-Cantelli (notations)
Bonjour
Je suis en train d'étudier ce théorème et ai du mal à interpréter cette notation:
$
\lim_{n} \sup A_{n}=\bigcap_{n}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}^{\infty} A_{k}
$
Du coup?:
$
\lim_{3} \sup A_{3}=\bigcap_{3}^{\infty}\bigcup_{k\geq 3}^{\infty} A_{k}=
(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})\cap (A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4})\cap ...\\ \cap
(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup\dots\cup A_{k})\cap\dots\cap
(A_{1}\cup A_{2}\cup\dots\cup A_{40}\cup\dots\cup A_{k})\cap\dots$
merci d'avance
Je suis en train d'étudier ce théorème et ai du mal à interpréter cette notation:
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\lim_{n} \sup A_{n}=\bigcap_{n}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}^{\infty} A_{k}
$
Du coup?:
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\lim_{3} \sup A_{3}=\bigcap_{3}^{\infty}\bigcup_{k\geq 3}^{\infty} A_{k}=
(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})\cap (A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4})\cap ...\\ \cap
(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup\dots\cup A_{k})\cap\dots\cap
(A_{1}\cup A_{2}\cup\dots\cup A_{40}\cup\dots\cup A_{k})\cap\dots$
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Réponses
\lim_{3} \sup A_{3}=\bigcap_{3}^{\infty}\bigcup_{k\geq 3}^{\infty} A_{k}=
\bigcap_{3}^{\infty}(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})$
Comme ceci? comment développer davantage?
comme ça?:
$\bigcap_{3}^{\infty}(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})\\
=(A_{1}\cup A_{2})\cap (A_{2}\cup A_{3})\cap (A_{3}\cup A_{1})$
En gros c'est une expression intuitive qui ne se "développe" donc pas(comme "+/- infini")?