Cardinaux mondains again
Salut à tous,
Je viens de m'apercevoir que j'ai raconté pas mal de conneries sur les cardinaux mondains. En particulier chap 24 pages 5, les preuves des lemmes 5 et 6 sont fausses... enfin, il me semble.
Alors je vais tout reprendre au début. Pour commencer je voudrais montrer que si $\alpha > \omega$ est un ordinal limite et si $V_{\alpha} \models ZFC$, alors $\alpha$ est nécessairement un cardinal.
Bon, on sait que $V_{\alpha} \models ZC$ pour tout ordinal limite $\alpha > \omega$, donc le seul truc qui peut tomber en défaut est le schéma de remplacement.
Je voulais faire le raisonnement suivant : si $\alpha$ n'est pas un cardinal, on pose $\kappa = |\alpha|$. Il existe donc une bijection $f : \kappa \to \alpha$. On considère la fonctionnelle $F$ qui envoie tout $\beta < \kappa$ sur $V_{f(\alpha)}$. Comme $f$ est cofinale dans $\alpha$ il est facile de vérifier que la classe $A= \{V_{f(\alpha)} : \alpha < \kappa\}$ n'est pas un ensemble au sens de $V_{\kappa}$, donc ce dernier ne satisfait pas le remplacement.
Hélas, ce raisonnement ne tient pas, puisqu'on ne sait pas si la bijection $f$ est définissable par une formule ensembliste.
Si quelqu'un a une meilleure idée...
Merci d'avance
Martial
Je viens de m'apercevoir que j'ai raconté pas mal de conneries sur les cardinaux mondains. En particulier chap 24 pages 5, les preuves des lemmes 5 et 6 sont fausses... enfin, il me semble.
Alors je vais tout reprendre au début. Pour commencer je voudrais montrer que si $\alpha > \omega$ est un ordinal limite et si $V_{\alpha} \models ZFC$, alors $\alpha$ est nécessairement un cardinal.
Bon, on sait que $V_{\alpha} \models ZC$ pour tout ordinal limite $\alpha > \omega$, donc le seul truc qui peut tomber en défaut est le schéma de remplacement.
Je voulais faire le raisonnement suivant : si $\alpha$ n'est pas un cardinal, on pose $\kappa = |\alpha|$. Il existe donc une bijection $f : \kappa \to \alpha$. On considère la fonctionnelle $F$ qui envoie tout $\beta < \kappa$ sur $V_{f(\alpha)}$. Comme $f$ est cofinale dans $\alpha$ il est facile de vérifier que la classe $A= \{V_{f(\alpha)} : \alpha < \kappa\}$ n'est pas un ensemble au sens de $V_{\kappa}$, donc ce dernier ne satisfait pas le remplacement.
Hélas, ce raisonnement ne tient pas, puisqu'on ne sait pas si la bijection $f$ est définissable par une formule ensembliste.
Si quelqu'un a une meilleure idée...
Merci d'avance
Martial
Réponses
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J'ai oublié de préciser que mon univers $\mathbb{V}$ satisfait AC, oeuf corse.
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Oui c'est tout simple et tu vas t'en mordre les doigts :-D
Soit $\mu\in V_\alpha$ un ordinal. Alors il existe une injection $\mu\to \kappa$. -
@Max : merci pour ta réponse, mais je suis désolé. Je ne me suis pas encore mordu les doigts car je n'ai pas compris ton argument. (Je ne dois plus être coté à l'Argus, lol).
En quoi l'existence de cette injection contredit-elle le schéma de remplacement ? (A moins que tu fasses plutôt allusion au schéma de collection, ce qui revient au même). -
L'énoncé "Il existe un ordinal tel que tout ordinal du monde s'injecte dedans" ne te parait pas suspect ?
-
Ça y est, j'ai compris. En fait il ne fallait pas chercher une non-instance du schéma de remplacement, mais simplement une aberration.
Merci, Max !
Au risque d'abuser, peux-tu me confirmer que mes lemmes 5 et 6 ont des preuves fausses ?
Fondamentalement, je viens de me rendre compte du pb suivant : dans la vie de tous les jours, on a tendance à confondre $2^{\kappa}$ avec $\mathscr P(\kappa)$, pour un cardinal $\kappa$ donné. OK.
Maintenant je considère $V_{\omega_1}$.
On a $\omega \in V_{\omega +1}$, donc $\mathscr P(\omega) \in V_{\omega +2}$.
Pourtant, $\omega_1 \notin V_{\omega_1}$, donc a fortiori $2^{\omega} \notin V_{\omega_1}$.
Donc ça veut dire qu'ensemblistement $\mathscr P(\omega)$ et $2^{\omega}$ ne désignent pas le même objet, c'est ça ?
Je te pose cette question bête car c'est ça qui est à l'origine de mes erreurs.
Merci d'avance si tu peux m'aider à me recentrer. -
Bah c'est une aberration en conséquence du remplacement quand même ;-)
qu'appelles-tu $2^\omega$ ? Si c'est l'ensemble des applications $\omega\to 2$, alors si, c'est dans $V_{\omega_1}$ (dans $V_{\omega+3}$ ou peut-être $4$ même), si tu veux dire "le cardinal de cet ensemble des applications", alors non effectivement, il n'apparait que plus tard.
En général $V_\alpha$ ($\alpha$ limite) ne satisfait pas "tout ensemble est en bijection avec un ordinal", ce qui montre que le remplacement qu'on utilise lors de cette preuve est vraiment nécessaire !
Pour autant on peut (à nouveau, dès $V_{\omega + \epsilon}$) encoder des ordinaux très grands par des bons ordres plus ou moins canoniques.
Mais si ton cardinal est mondain, il sait bien que tout ensemble est en bijection avec un ordinal, et donc $V_\kappa$ contient bien $2^\alpha$ dès qu'il contient $\alpha$ (cf. un poil plus bas dans mon message)
En gros $\kappa$ est quasiment inaccessible, c'est juste que quand tu essaies de prouver la régularité t'es embêté par des questions de définissabilité. Donc je pense que ton lemme 5 est ok, et que d'ailleurs tu peux prouver direct que $\kappa$ est point fixe de $\beth$ (s'il ne l'était pas, le $\mu$ devrait être $<\kappa$, et donc $\kappa= \beth_\mu \in V_\kappa$, car $V_\kappa$ ne se trompe pas sur $\beth_\mu$ par tes lemmes précédents)
En fait c'est juste ton lemme 3 qu'il faut réécrire je pense: tu y prouves $(P(a))^{V_\kappa} = P(a)^V$, pas $2^a$, mais tu pourrais ensuite en déduire $(2^a)^{V_\kappa} = (2^a)^V$ en disant : $V_\kappa$ ne se trompe pas sur qui est un cardinal ($V_\alpha$ ne se trompe jamais dès lors que $\alpha$ est limite, parce qu'une bijection entre $\beta$ et $\delta<\beta$ se trouve quelque part dans $V_{\beta +\epsilon}$), et comme $\kappa$ est mondain, il sait que $P(a)$ a un cardinal, qui doit donc être le bon.
(PS : c'est marrant la TDE quand même :-D) -
Merci, Max.
Je ne vais pas avoir trop de la journée pour comprendre tout ça, mais maintenant je devrais y arriver.
(PS : c'est marrant la TDE quand même)
Je ne te le fais pas dire, lol. -
@Max : finalement j'ai tout compris. Je viens de rectifier. Merci !!!
En fait j'ai commis de façon récurrente l'erreur consistant à confondre $\mathscr P(\kappa)$ avec son cardinal, $2^{\kappa}$. C'est vrai que dans la plupart des applications on peut identifier les deux objets sans problèmes, mais ensemblistement ce sont deux objets très différents. (De même qu'en théorie $\mathbb{Z}$ n'est pas inclus dans $\mathbb{Q}$ etc).
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