Généralisation d'une formule

babsgueye · January 2021

Salut.
On sait que : $$p = \binom{p}{1} = \sum_{i=0}^{p-1}\binom{i}{0} = \underbrace{1 + 1 +\cdots+ 1}_{p}

$$ et que : $$\dfrac{p(p - 1)}{2} = \binom{p}{2} = \sum_{i=1}^{p-1}\binom{i}{1} = \sum_{i=1}^{p-1}i.

$$ Cette formule se généralise à :$$\binom{p}{k} = \sum_{i=k-1}^{p-1}\binom{i}{k-1}.

$$ Quelqu'un aurait-il une démonstration de cette dernière égalité ? Merci.

raoul.S · January 2021

Olala babsgueye, tu ne peux pas demander ça après avoir démontré la conjecture du coureur solitaire (:D

Allez je te donne une piste : $\displaystyle \forall i\geq k, \binom{i+1}{k}-\binom{i}{k}=\binom{i}{k-1}$

Tu démontres d'abord l'égalité ci-dessus puis tu obtiens la tienne par somme télescopique.

babsgueye · January 2021

Ok @raoul.S
Je vois ta méthode.
Je suis un peu le conseil d'@lourrran qui me refuse le droit de chercher à résoudre des problèmes réputés difficiles :-D

Moi j'ai rencontré la formule en cherchant sur la conjecture de Catalan. Du coup je le démontre d'une autre manière.
J'utilise l'égalité $x^{p} - 1 = (x - 1)(\sum_{i=0}^{p-1}x^{i})$, sur quoi je fais le changement de variable $x = X + 1$.

Merci.

raoul.S · January 2021

Effectivement, c'est plus "raffiné". B-)

Généralisation d'une formule

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