Quel algorithme pour les puissances ?
Bonjour,
Si je tape $1,0001\ \boxed{x^y} \ 160$ sur la calculatrice de Windows, elle me renvoie $1,0161278725576610802886405958576$
Quel crédit puis-je accorder à ces décimales ? Sont-elles toutes justes ? La dernière résulte-t-elle d'une troncature ou bien d'un arrondi à la plus proche ?
Plus généralement, je me pose la question de l'algorithme utilisé par cette calculatrice ou encore Excel pour calculer les puissances et les exponentielles.
Merci à tout intervenant compétent qui voudra se donner la peine de me répondre.
NB Excel donne moins de décimales que la calculatrice.
Amicalement.
jacquot
Si je tape $1,0001\ \boxed{x^y} \ 160$ sur la calculatrice de Windows, elle me renvoie $1,0161278725576610802886405958576$
Quel crédit puis-je accorder à ces décimales ? Sont-elles toutes justes ? La dernière résulte-t-elle d'une troncature ou bien d'un arrondi à la plus proche ?
Plus généralement, je me pose la question de l'algorithme utilisé par cette calculatrice ou encore Excel pour calculer les puissances et les exponentielles.
Merci à tout intervenant compétent qui voudra se donner la peine de me répondre.
NB Excel donne moins de décimales que la calculatrice.
Amicalement.
jacquot
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Réponses
Maple avec une précision de 50 chiffres :
-- Schnoebelen, Philippe
Vous répondez déjà à ma première question : il semblerait que toutes les décimales données par la calculatrice soient justes, du moins elles coïncident avec celles qui vous sont fournies par vos puissants outils.
Cette réponse me suffit par rapport à ce que je veux faire : vérification d'une table numérique datant du XVIIe siècle.
La question de l'arrondi est de moIndre importance : la décimale suivant le $6$ étant $3$, je ne peux pas savoir si la calculatrice tronque ou si elle arrondit au plus proche.
Reste ouverte la question de l'algorithme mis en oeuvre pour ce calcul.
Je pense que la touche $x^y $ appelle un calcul d'exponentielle. Que se passe-t-il dans les entrailles de la machine ?
Calcule-t-elle un développement limité ?
Merci, en tous cas pour ces premières réponses.
Amicalement. jacquot
Peut-être l'algorithme d'exponentiation rapide, comme l'exposant est un entier ? https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_rapide
@jacquot: Tu es en train de comprendre que l'ordinateur est le monde de l'illusion. Les chiffres dans la mantisse sont plutôt justes car on a fait un calcul faux dont les décimales devant être affichées sont justes.
On ne peut pas décrire $\pi$ avec des nombres entiers. L'ordinateur ne connaît pas pi.
On ne peut pas avoir une précision infinie sur les nombres de la même manière qu'on ne peut pas avoir des nombres infinis en mémoire d'un ordinateur.
Donc la question des ingénieurs est "quelle erreur peut-on se permettre ? (sans que personne ne voit la supercherie)".
Certaines calculatrices donnent des nombres impairs comme résultat de grandes puissances de 2. Donc, à ta question, je répond "non". On ne peut pas faire confiance aux dernières décimales des grandes puissances.
Une dernière chose. Tu vas galérer à écrire, en base 10, le résultat de $\frac{1}{3}$, car tu écriras $0,333333333...._{10}$ Alors qu'en base 3, tu écris simplement $0,1_3$. :-) Injuste mais réel. ($\frac{1}{3_{10}}=\frac{1}{10_{3}}=0.1_3$)
Donc pour comprendre le problème, tu dois étudier l'écriture des nombres en binaire, et les différentes normes qui font des bijections entre les entiers naturels et les autres nombres (négatifs, à virgule, etc)
Voici un autre exemple pour tester les représentations : calculer les $n$ premiers termes de la suite $e\times (1-1/n)^n$ laquelle tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et comparer les calculettes.
X:-(