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Énigme : "théorème"

Bonjour,
On m'a donné l'énoncé ci-dessous en me demandant de montrer qu'il est vrai !

Quel que soit le triangle T du plan,
Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
Ou
Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle.

Réponses

  • Je te confirme que ce théorème est vrai !
    Qu'as-tu essayé pour l'instant pour le démontrer ?
  • Quel que soit le triangle T du plan,
    Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle

    ça, c'est faux car les trois angles sont de 60 degrés et donc aucun n'est de 90 degrés.



    Quel que soit le triangle T du plan,
    Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle.

    ça, c'est faux aussi car un angle est de 90 degrés donc on peut avoir 30 et 60 pour les autres et donc il est pas isocèle


    Mais cette fois, on ne peut pas essayer tout les triangles !
  • Mais la propriété ne dit pas : \[\left(\text{pour tout triangle T, si T est équilatéral alors T rectangle}\right) \quad \text{OU} \quad \left(\text{pour tout triangle T, si T est rectangle alors T est isocèle}\right)\]
    elle dit :\[\text{pour tout triangle T,} \left[\left(\text{si T est équilatéral alors T rectangle}\right) \quad \text{OU} \quad \left(\text{si T est rectangle alors T est isocèle}\right)\right]\]
  • Serait-ce dans le style de la fausse démonstration que tous les triangles sont isocèles?
    Jean-Louis.
  • Non, il suffit de vérifier que chaque triangle rend vraie au moins une des deux implications.
    On peut par exemple distinguer les triangles rectangles et ceux qui ne le sont pas.
  • E : T st équilatéral
    R : T est rectangle
    I : T est isocèle

    $(E \Rightarrow R)\ ou\ (R \Rightarrow I) \equiv (\bar E + R) + (\bar R + I) \equiv \bar E + (R + \bar R) + I \equiv \bar E + 1 + I = 1$

    Donc c'est toujours vrai, quelque soit l'entrée.
  • @tého : le plus simple est de distinguer 4 cas : triangle quelconque, isocèle, rectangle, équilatéral, et de vérifier dans chaque cas qu'au moins une des affirmations est vraie.
  • Merci bcp beaucoup,
    dans le cas isocèle je n'arrive pas à trouver une des deux vraies :(
  • La seconde est vraie. Si tu pars d'un triangle isocèle, s'il est rectangle, alors il est isocèle.
  • C'est dans ce genre d'exo que, étant donnés deux énoncés $X,Y$, l'équivalence entre $X\Rightarrow Y$ et $\neg X \vee Y$ sert.
    On est ramené à montrer un énoncé de la forme $\big((\neg A) \vee B\big) \vee \big((\neg B) \vee C\big)$ avec $A,B,C$ affirmations à préciser.
  • Merci,
    si j'ai compris ?

    Quel que soit le triangle T du plan,
    Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
    Ou
    Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle.

    est vrai à cause des tables de vérité de l'implication et du "ou"


    On distingue les deux cas :
    T est (triangle) rectangle , T n'est pas (triangle) rectangle

    T est (triangle) rectangle
    Rend vraie : "Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle"
    et donc rend vraie :
    "Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
    Ou
    Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle".


    T n'est pas (triangle) rectangle
    Rend vraie : "Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle".
    et donc rend vraie :
    "Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
    Ou
    Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle".
  • Oui. C'est une façon de le dire.
  • Merci,
    Ce qui suit est donc aussi un théorème !?


    Quel que soit le triangle T du plan,
    si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
    OU
    si T n’est pas isocèle alors T est isocèle
  • Et bien, j'aurais tendance à dire oui. Mais ce théorème n'exprime rien. Si je reprends mes notations précédentes, tu nous dis :
    $(I\Rightarrow\bar I)\ ou\ (\bar I\Rightarrow I) \equiv (\bar I + \bar I) + ( I + I) \equiv \bar I + I \equiv 1$
    C'est encore une tautologie, c'est-à-dire, toujours vraie, quelque soit l'entrée. Et tu comptes sur l'entrée vraie ou fausse pour pallier l'association qui ne dit rien. Tout objet est une chose ou son contraire. Donc tu couvres tous les cas.

    Je prends ton exemple comme celui-ci:
    $\forall x \in \mathbb{R}, x\ge0\ ou\ x<0$
    Merci du voyage.
  • Merci,
    Si j'ai bien compris ?

    Quel que soit le triangle T du plan,
    si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
    OU
    si T n’est pas isocèle alors T est isocèle.

    est "équivalent" à ?

    Quel que soit le triangle T du plan,
    T est isocèle ou T n’est pas isocèle.
  • Oui. C'est l'avant dernier membre de mon calcul : $I\ vrai\ ou\ \bar I\ vrai$. Le dernier étant "vrai est vrai".
  • Pardon de ne pas avoir vu ce fil. C'est un cas particulier de chacun des deux théorèmes suivants:
    $$

    \forall A,B: [A\ ou \ (A\to B)] \\

    \forall A,B: [(B\to A)\ ou \ (A\to B)] .

    $$ Pour les curieux, le deuxième est strictement plus faible que le premier. Le premier est (une des formes de) l'axiome du raisonnement par l'absurde, qui peut se dire aussi comme suit :
    $$
    \forall A,B,C : [((A\to B)\to C)\to ((A\to C)\to C)]

    $$ quand on veut éviter le mot "ou".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • $\forall A,B: [A\ ou \ (A\to B)] \equiv A + \bar A + B \equiv 1$
    $\forall A,B: [(B\to A)\ ou \ (A\to B)] \equiv \bar B + A + \bar A + B \equiv 1$
    $\forall A,B,C : [((A\to B)\to C)\to ((A\to C)\to C)] \equiv \overline{A\bar B + C}+ A\bar C + C \equiv \bar A\bar C + B\bar C + A\bar C +C \equiv \bar A + B + A +C \equiv 1$

    Je ne sais pas à quoi servent tes circonvolutions.
  • Attention, là, tu es en logique classique.

    Il y a des "degrés". Encore heureux qu'elles soient toutes les 3 vraies :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour,

    "Attention, là, tu es en logique classique"

    Le "théorème" ci-dessous est-il encore vrai en logique "non classique" ?

    Quel que soit le triangle T du plan,
    si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
    OU
    si T n’est pas isocèle alors T est isocèle.
  • Oui il vaut dans toutes logiques où se réalise le buveur, ie où les valeurs de vérité sont des ordinaux et pas juste les deux premiers 0 et 1.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour,
    et merci !

    Je viens de lire que "le paradoxe du buveur n’est pas vrai en logique intuitionniste".

    Ce qui suit est-il un Théorème de la logique intuitionniste ?

    Quel que soit le triangle T du plan,
    si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
    OU
    si T n’est pas isocèle alors T est isocèle.
  • Non, ça n'en est pas un
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je te donne la définition de la logique intuitionniste.

    Tu prends une topologie $T$ (ie donc un espace topologique, l'ensemble étant la réunion des éléments de la topologie).

    Pour des éléments $A,B$ de T, tu notes:

    A et B veut dire $A\cap B$

    A ou B veut dire $A\cup B$

    A => B veut dire "réunion des ouverts $U$ tels que $A\cap U\subset B$"

    faux veut dire ensemble vide

    vraiPur veut dire espace entier

    non(A) veut dire A=>faux

    Remarque: non(A) est donc l'intérieur du complémentaire de A

    $\forall x\in Toto: R(x)$ est l'intérieur de l'intersection des $R(x)$ quand $x$ parcourt $Toto$.

    $\exists x\in Toto: R(x)$ est la réunion des $R(x)$ quand $x$ parcourt $Toto$.


    "bon ouvert" veut dire "ouvert qui est intérieur de son adhérence"

    Une expression avec des lettres est un théorème de la logique intuitionniste si et seulement si tu ne peux pas trouver de topologie et d'ouverts mis à la place des lettres où sa valeur n'est pas l'espace entier.

    Une expression avec des lettres est un théorème de la logique classique si et seulement si tu ne peux pas trouver de topologie et de bons ouverts mis à la place des lettres où sa valeur n'est pas l'espace entier.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je viens de lire que "le paradoxe du buveur n’est pas vrai en logique intuitionniste".

    Le buveur n'est pas un paradoxe. Les maths l'utilisent continuellement. C'est un théorème banal de logique classique.

    Je t'en donne une preuve "peu classiquée" si je puis dire.


    $[\exists x : nonR(x)]\to [\exists y: nonR(y)]$ donc

    $\exists y : ([\exists x: nonR(x)]\to nonR(y))$ donc

    $\exists y : (R(y) \to [\forall x: R(x)])$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je n'ai pas lu ce qui précède mais j'ai l'impression que la pseudo-paradoxalité du théorème du buveur vient du fait que les gens interprètent mal l'énoncé.

    Quand on lit ça à tout berzingue on a l'impression qu'il y a forcément dans la bande un pochtron qui force tout le monde à boire.

    Or, ce n'est pas ça du tout.
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