Formules logiquement équivalentes
Bonjour,
comment montre-t-on que si une formule $F$ vérifie la propriété en pièce-jointe, alors toute formule logiquement équivalente à $F$ la vérifie aussi ?
Si $G$ est une formule logiquement équivalente à $F$, pour écrire que $\delta (G_{G_{1}/A_{1},...,G_{n}/A_{n}})=\delta (F_{G_{1}/A_{1},...,G_{n}/A_{n}})$, n'a-t-on pas besoin de la propriété que l'on essaye de démontrer ?
comment montre-t-on que si une formule $F$ vérifie la propriété en pièce-jointe, alors toute formule logiquement équivalente à $F$ la vérifie aussi ?
Si $G$ est une formule logiquement équivalente à $F$, pour écrire que $\delta (G_{G_{1}/A_{1},...,G_{n}/A_{n}})=\delta (F_{G_{1}/A_{1},...,G_{n}/A_{n}})$, n'a-t-on pas besoin de la propriété que l'on essaye de démontrer ?
Réponses
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Mais on n'utilise pas cette propriété pour démontrer ce théorème, donc si tu peux la déduire du théorème, il n'y a pas de souci.
Par ailleurs, tu peux peut-être rappeler ce que tu entends par "logiquement équivalente" à ce stade (je ne me souviens plus assez du livre pour savoir s'ils ont traité les démonstrations formelles ou pas encore, j'en doute mais on ne sait jamais) -
En fait, je fais référence à la remarque 3.7 page 54. Il dit que l'on peut se contenter de démontrer cette propriété par induction pour $F=\neg G$ et $F=(G \land H)$, dans la mesure où toute formule est logiquement équivalente à une formule ne comportant que ces deux connecteurs. Il faut au préalable prouver que si une formule $F$ vérifie cette propriété, alors toute formule logiquement équivalente à $F$ la vérifie aussi.
Deux formules $F$ et $G$ sont logiquement équivalentes si et seulement si $F\iff G$ est une tautologie. -
Ah.. bon c'est juste une astuce pour gagner du temps, la preuve est exactement la même pour tous les connecteurs, il n'y a aucun intérêt à faire cette réduction; et comme tu dis il n'est pas évident qu'on puisse la faire sans avoir au préalable cet énoncé.
Enfin, il suffit d'un cas particulier (à savoir : "si $F$ est une tautologie, alors $F_{G_1/A_1,..., G_n/A_n}$ en est une aussi"), qu'on peut effectivement montrer au préalable pour faire cette réduction, mais tous ces trucs là sont si faciles à montrer et se ressemblent tous tellement que c'est un peu compliqué de savoir ce qui est plus efficace. -
Merci pour votre aide.
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