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I0

@Tous : ça y est, I0 est arrivé, et avec lui la conclusion du chap 24.

https://drive.google.com/file/d/1zzEJ72Ckvp0rpDCLt2B7bvRQE5xPOTPI/view

@Christophe : tu vois, le délai d'une semaine a été respecté, on ne plaisante pas avec ces choses-là...

Réponses

  • Surtout avec la grand maitre $I0$ :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • J'ai lu... A un moment, heureusement qu'ils sont récompensés ces chercheurs, car ils doivent vraiment avoir l'impression d'avoir été envoyés sur Mars sans pouvoir revenir.

    Personnellement, je trouve qu'on a trop focalisé sur rapprocher $M$ de $V$. Et on a trop peu investigué dans l'autre sens, à savoir rapprocher $M$ de $L$ (qu'il ne peut pas atteindre non plus) sans toucher à $V$.

    Par ailleurs, on n'a pas du tout cherché à automatiser, à savoir chercher une $\phi$ naturelle qui à tout énoncé $A$ associe un axiome de grand cardinal $B$, tel que

    $$ cons(ZF+A) \iff cons(ZFC+B)$$

    ce qui est dommage, car au fond Woodin est monté jusqu'à $I0$, puis est redescendu jusque plus bas que les supercompacts pour obtenir

    $$ L[\R]\models AD$$

    et ça ressemble trop à de l'artisanat.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Parmi les multiples amusements rapprochant $M$ de $V$, il ny a franchement que l'embarras du choix et je ne suis pas du tout sûr, en plus, que les choix adoptés soient forcément guidés par le déductif ou l'objectivité.

    Rien qu'un exemple : un plongement $j: V\to M$ tel que il ne manque à $M$ que $j$ pour obtenir $V$. Autrement dit, tout ensemble $X$ de $V$ est une partie définissable d'un $Y\in M$ en utilisant $j$ dans la définition.

    Ce n'est qu'un exemple "capricieux".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci d'avoir lu. Je vois que tu as bien cerné le phénomène d'absentéisme pendant 25 ans... au moins je ne me suis pas fatigué pour rien.

    Tu peux détailler un peu : faire rapprocher $M$ de $L$ ?

    Tout à fait d'accord avec ta $\phi$ naturelle. T'en as pas une sous la main pour Syracuse ?

    J'espère que Woodin ne manipule pas trop bien la langue de Molière, sinon ça va le contrarier que tu le traites d'artisan, lol.

    P.S. : je n'ai rien contre les artisans, bien au contraire, mais il ne faut pas sortir ma prose du contexte.
  • Je viens de découvrir ton dernier post.
    Dans mon paragraphe sur la borne de Kunen j'explique la genèse de I3, I2, I1... qui effectivement n'est motivée que par "bordel, comment on pourrait faire pour contourner l'inconsistance" ? Ce qui est marrant c'est que même Gaifman et Kanamori n'y croyaient pas au début, le "I" dans I3 etc provient de "Inconsistency".

    Ton exemple est génial. Tu crois que tu pourrais en faire un axiome de GC ?
  • Mon caprice est "bad", car il est trivial et n'apporte rien au fait que $X = \{x \mid j(x)\in j(X) \}$, mais sinon, oui, il y a tout plein de manières de jouer.

    Par exemple existe-t-il $\phi, \kappa,\mu$ telle que

    0/ $\phi(\kappa)=\{\mu \}$

    1/ $\forall x: \phi(x)$ dénombrable

    2/ Pour tout ensemble $A$, il existe $f$ de domaine $A$ telle que $f$ plonge élémentairement même si partiellement $V$ dans $V$ et $\forall a\in A: f(a)\in \phi(a)$

    Autre exemple, $j$ ne peut pas exister, mais son existence virtuelle telle que définie dans ma thèse est-elle faible? La réponse dépend de $j$, mais peut-on faire tendre le degré associé vers le plus petit des degrés? Pour avoir un énoncé cash à la place de tendre, on peut demander s'il existe un plongement quantique de $V\to V$ qui bouge un ordinal bien précis et imposé $\kappa$

    Exemple encore, on peut faire varier les modèles et mettre des quantificateurs dessus:

    soit $u$ une suite d'ordinaux. On considère les $j:V\to_{ \kappa } M$ (on dit qu'ils sont bleux) tels que $u_0=sup_n j^n(\kappa)$ qu'on note habituellement $\lambda$, $\kappa=u_1$, $j(\kappa)=u_2$, etc.

    Est-ce que tout ensemble est dans le $M$ d'un $j$ bleu?

    Il y a plein d'autres façons de s'amuser à demander que $V$ soit proche de $M$

    On peut aussi demander que $j$ conserve des trucs, même si par Kunen on sait que pour tout bon ordre $S$ sur $\lambda^\N$, on a $j(S) \neq S$, on peut descendre un chouya.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Autres exemples: est-ce que $j$ peut être générique dans le sens que pour tout $X\in M$, il existe dans $M$ un ordre partiel sur $X$ tel que $X\cap j$ est générique pour cet ordre (ie filtre, est ouvert et rencontre tous les denses)?

    Tu peux aussi "affaiblir" en changeant le point de vue. Au lieu de l'appartenance comme star, tu prends la composition de fonctions et te considère dans un topos (ou même un catégorie cartésienne fermée).

    Evidemment pour que ce soit rigolo, faut qu'elle soit "pleine" au sens où pour toute $\phi$ envoyant $1\to A$ sur $1\to B$, il existe une flèche $g$ telles que pour toute flèche $h\in (1\to A): \phi(h) = g\circ h$. Etc, etc
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Heureusement que tu n'as pas couché sur le papier toutes ces idées (et leurs développements), car sinon mon chap 24 à lui tout seul ferait 2000 pages : les cardinaux $CC_L$, les cardinaux $CC_V$, $CC_{\mu}$, $CC_{catégories}$ etc.
  • Encore une variante.

    Existe-t-il un $f: ON\to ON$ telle que tout élément de $V$ est dans un des $M$ d'un $j:V\to_k \ M$ vérifiant $j_{|ON} = f$ ?
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  • Ton $k$ est fixé, dans la bagorre ?
  • Oui c'est point critique de f.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • C'est une bonne question.

    Buenas noches à tous
  • :-D oui et sa réponse est non:-D

    En remplaçant ON par CARD, peut être que ça ira mieux?
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  • Je ne sais pas bien l'écrire mais j'ai l'impression que s'il existait une telle $f$ on pourrait prendre la limite inductive des $(M,j)$, soit $(L,k)$, et alors on aurait $k : V \prec L$, ce qui contredirait la borne de Kunen.
    C'est l'idée ?
  • C'est bien plus simple: $\{f(x)\mid x\in\lambda\}=\{j(x)\mid x\in\lambda\}$ n'appartient à aucun des $M$ évoqués, de par Kunen.
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  • Le même argument vaut pour $CARD$ d'ailleurs (sacré téléphone).
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  • Un axiome ultrapuissant et probablement inconsistant, mais sait-on jamais est le suivant:

    Il existe un plongement $j:V\to M$ tel que pour toute partie $X$ de $ON$, il existe un générique $G$ sur "le" forcing à poset dénombrable qui rajoute un réel de Cohen tel que $X\in M[G]$.

    Ceci doit évidemment, pour le dire proprement, s'entendre avec $V,M$ dénombrable transitifs et bien fondés et la lettre $V$ symbolise que $\forall a\in V: j\cap a\in V$

    Si c'était consistant, on pourrait dire que c'est le meilleur axiome de grand cardinal jamais inventé car il relie d'une manière magistrale les GC aux nombres réels. Je le mets donc en vert :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pour info, "le" renvoie au fait que tout poset dénombrable a le même effet (sans atome of course) et qu'on peut prendre l'ensemble des suites finies de 0 et 1 ordonné par $\supset$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je viens de mettre en ligne une version corrigée du chap 24. Il n'y a plus 6 gros chantiers maintenant, mais 7. Donc, il y a encore du taf.

    Par ailleurs j'ai un peu amélioré (vraiment un peu) mon chap 22 très parcellaire. Là, il y a encore une classe propre de taf.
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