I0
@Tous : ça y est, I0 est arrivé, et avec lui la conclusion du chap 24.
https://drive.google.com/file/d/1zzEJ72Ckvp0rpDCLt2B7bvRQE5xPOTPI/view
@Christophe : tu vois, le délai d'une semaine a été respecté, on ne plaisante pas avec ces choses-là...
https://drive.google.com/file/d/1zzEJ72Ckvp0rpDCLt2B7bvRQE5xPOTPI/view
@Christophe : tu vois, le délai d'une semaine a été respecté, on ne plaisante pas avec ces choses-là...
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Réponses
Personnellement, je trouve qu'on a trop focalisé sur rapprocher $M$ de $V$. Et on a trop peu investigué dans l'autre sens, à savoir rapprocher $M$ de $L$ (qu'il ne peut pas atteindre non plus) sans toucher à $V$.
Par ailleurs, on n'a pas du tout cherché à automatiser, à savoir chercher une $\phi$ naturelle qui à tout énoncé $A$ associe un axiome de grand cardinal $B$, tel que
$$ cons(ZF+A) \iff cons(ZFC+B)$$
ce qui est dommage, car au fond Woodin est monté jusqu'à $I0$, puis est redescendu jusque plus bas que les supercompacts pour obtenir
$$ L[\R]\models AD$$
et ça ressemble trop à de l'artisanat.
Rien qu'un exemple : un plongement $j: V\to M$ tel que il ne manque à $M$ que $j$ pour obtenir $V$. Autrement dit, tout ensemble $X$ de $V$ est une partie définissable d'un $Y\in M$ en utilisant $j$ dans la définition.
Ce n'est qu'un exemple "capricieux".
Tu peux détailler un peu : faire rapprocher $M$ de $L$ ?
Tout à fait d'accord avec ta $\phi$ naturelle. T'en as pas une sous la main pour Syracuse ?
J'espère que Woodin ne manipule pas trop bien la langue de Molière, sinon ça va le contrarier que tu le traites d'artisan, lol.
P.S. : je n'ai rien contre les artisans, bien au contraire, mais il ne faut pas sortir ma prose du contexte.
Dans mon paragraphe sur la borne de Kunen j'explique la genèse de I3, I2, I1... qui effectivement n'est motivée que par "bordel, comment on pourrait faire pour contourner l'inconsistance" ? Ce qui est marrant c'est que même Gaifman et Kanamori n'y croyaient pas au début, le "I" dans I3 etc provient de "Inconsistency".
Ton exemple est génial. Tu crois que tu pourrais en faire un axiome de GC ?
Par exemple existe-t-il $\phi, \kappa,\mu$ telle que
0/ $\phi(\kappa)=\{\mu \}$
1/ $\forall x: \phi(x)$ dénombrable
2/ Pour tout ensemble $A$, il existe $f$ de domaine $A$ telle que $f$ plonge élémentairement même si partiellement $V$ dans $V$ et $\forall a\in A: f(a)\in \phi(a)$
Autre exemple, $j$ ne peut pas exister, mais son existence virtuelle telle que définie dans ma thèse est-elle faible? La réponse dépend de $j$, mais peut-on faire tendre le degré associé vers le plus petit des degrés? Pour avoir un énoncé cash à la place de tendre, on peut demander s'il existe un plongement quantique de $V\to V$ qui bouge un ordinal bien précis et imposé $\kappa$
Exemple encore, on peut faire varier les modèles et mettre des quantificateurs dessus:
soit $u$ une suite d'ordinaux. On considère les $j:V\to_{ \kappa } M$ (on dit qu'ils sont bleux) tels que $u_0=sup_n j^n(\kappa)$ qu'on note habituellement $\lambda$, $\kappa=u_1$, $j(\kappa)=u_2$, etc.
Est-ce que tout ensemble est dans le $M$ d'un $j$ bleu?
Il y a plein d'autres façons de s'amuser à demander que $V$ soit proche de $M$
On peut aussi demander que $j$ conserve des trucs, même si par Kunen on sait que pour tout bon ordre $S$ sur $\lambda^\N$, on a $j(S) \neq S$, on peut descendre un chouya.
Tu peux aussi "affaiblir" en changeant le point de vue. Au lieu de l'appartenance comme star, tu prends la composition de fonctions et te considère dans un topos (ou même un catégorie cartésienne fermée).
Evidemment pour que ce soit rigolo, faut qu'elle soit "pleine" au sens où pour toute $\phi$ envoyant $1\to A$ sur $1\to B$, il existe une flèche $g$ telles que pour toute flèche $h\in (1\to A): \phi(h) = g\circ h$. Etc, etc
Existe-t-il un $f: ON\to ON$ telle que tout élément de $V$ est dans un des $M$ d'un $j:V\to_k \ M$ vérifiant $j_{|ON} = f$ ?
Buenas noches à tous
En remplaçant ON par CARD, peut être que ça ira mieux?
C'est l'idée ?
Il existe un plongement $j:V\to M$ tel que pour toute partie $X$ de $ON$, il existe un générique $G$ sur "le" forcing à poset dénombrable qui rajoute un réel de Cohen tel que $X\in M[G]$.
Ceci doit évidemment, pour le dire proprement, s'entendre avec $V,M$ dénombrable transitifs et bien fondés et la lettre $V$ symbolise que $\forall a\in V: j\cap a\in V$
Si c'était consistant, on pourrait dire que c'est le meilleur axiome de grand cardinal jamais inventé car il relie d'une manière magistrale les GC aux nombres réels. Je le mets donc en vert :-D
Par ailleurs j'ai un peu amélioré (vraiment un peu) mon chap 22 très parcellaire. Là, il y a encore une classe propre de taf.