Conclusion

Sneg
Sneg
dans Fondements et Logique
Bonsoir,

Je fais une supposition initiale qui, au terme d'un raisonnement, conduit à une solution fausse.
J'en conclus que ma supposition initiale est fausse...pour autant que mon mon raisonnement soit juste.
Si cette conclusion est exacte, comment l'interpréter en termes de logique ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Je suppose A.
    J’obtiens $0=1$ (Je n’ai pas compris ce qu’est une « solution fausse »).

    En logique, je viens de démontrer : $non($A$)$.

    Remarque : si c’est une histoire d’équations (est-ce le cas ?).
    Alors j’ai démontré que la seule solution est $S$.
    Mais quand j’essaye $S$ dans l’équation initiale, ça ne fonctionne pas.

    J’ai donc démontré que l’équation n’a pas de solution.
  • Foys
    Foys
    Rien n'est incorrect ici; étant donnés des énoncés $A,B$, de $A\Rightarrow B$ on peut déduire $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Sneg
    Concrètement, voilà la situation :

    Dans un problème d'arithmétique où $K$ est un entier strictement positif et impair, je dois distinguer deux hypothèses :
    1) $K=1$
    2) $K>1$

    Si je pose $K>1$, alors au terme d'un long raisonnement, j'arrive à la conclusion que $7$ divise l'entier $2^n+1$ ($n$ entier $>0$). Or, c'est impossible, cela se vérifie facilement.
    Puis-je conclure que l'hypothèse $K>1$ est elle-même impossible ?
    Qu'en dit la logique ?

    Merci.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui, comme le dit Dom, si tu supposes $A$ et obtient quelque chose d'impossible, de faux, alors tu as prouvé "non $A$", i.e. "l'hypothèse $A$ est fausse".

    C'est la définition de "non $A$"
  • Sneg
    Sneg
    Merci, Maxtimax;

    De mon côté, je voyais les choses comme ceci :

    $A=K>1$
    $B=7$ divise $2^n+1$
    \begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    & A & \Rightarrow & B \\
    \hline
    a & 1 & 1 & 1 \\
    \hline
    b & 1 & 0 & 0 \\
    \hline
    c & 0 & 1 & 1 \\
    \hline
    d & 0 & 1 & 0 \\
    \hline

    \end{array} Comme $B$ est faux, je suis soit en $b$, soit en $d$.
    Considérer mon raisonnement conduisant de $A$ à $B$ comme juste/vrai revient à considérer l'implication comme vraie. Donc, je suis en $d$. Et donc, $A$ est faux.

    Ce que je viens d'écrire a-t-il un sens pour les logiciens ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu peux le voir comme ça, mais c'est mettre la charrue avant les boeufs (ou un autre dicton français plus pertinent)

    Les tables de vérité, elles marchent parce que ce genre de raisonnement marche (bon et un autre plus crucial dont on ne va pas parler ici). C'est-à-dire qu'on s'est pas levé un matin avec les tables de vérité sous les yeux en disant "dans mes raisonnements je dois suivre les tables de vérité" !!
    On a une notion de raisonnement, qu'on accepte comme logique, et on en a déduit les tables de vérité qui encodent cette notion de raisonnement - ce n'est pas dans l'autre sens !

    Ici, à nouveau, ta démonstration, c'est la définition même d'une preuve de "non $A$" ou encore de "$A$ est fausse". Autrement dit, il n'y a pas de manière de démontrer "$A$ est fausse" que de supposer $A$ vraie et d'obtenir quelque chose d'impossible. J'exagère un tout petit peu, mais on peut interpréter ce que je dis de sorte que ce soit littéralement vrai.

    Donc si tu veux, en "sanity check", ou pour vérifier que tu n'as pas dit de bêtise, tu peux recourrir (un ou deux "r" ?) à une table de vérité pour vérifier, mais ce n'est pas de là que ça vient, ça vient du sens de "$A$ est fausse"
  • christophe c
    christophe c
    Rappelle-toi que faux => tout ce que tu veux.

    Il suit, que
    Si $K=1$ alors Eureka
    Si $K>1$ alors faux, donc aussi Euréka

    Finalement si $K=1$ ou $K>1$ alors Euréka.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @Max : il y a un seul "r" à recourir.
    (Je te devais bien ça).
  • Dom
    Dom
    Christophe,

    On ne sait rien de « K=1 » d’après ce que j’ai compris.
    Si ça se trouve c’est « faux » aussi.

    Exemple bête : soit K un entier impair tel que K $\in 2\mathbb Z$.

    En fait je dis cela car je scrute ton discours du fait de ne pas l’avoir toujours compris à sa juste valeur (au sens mathématique).
    Le « Eurêka » m’intrigue.
  • christophe c
    christophe c
    J'ai utilisé Euréka pour abréger "ce que tu cherches à prouver".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Sneg
    Sneg
    Je pense avoir compris l’idée principale (du moins, je l’espère) :
    Si une hypothèse conduit à un résultat à rejeter, alors l’hypothèse elle-même est à rejeter.
    Merci à vous tous.
  • christophe c
    christophe c
    Ca s'appelle "contraposée":

    Si A=>B
    Alors nonB => nonA

    Un conseil, en maths, mieux vaut éviter les intentionnalités humaines genre "à rejeter", etc, qui ne veulent rien dire.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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