Complexité de l'hypothèse du continu

Il faut préciser un peu ce que tu entends par là je crois. La complexité logique d'un énoncé complexe comme celui-ci n'est pas a priori bien définie en termes absolus, sauf à l'écrire toi-même sans abbréviations, auquel cas la question devient triviale.
Donc pour poser ta question, il faut préciser avec quels axiomes : ZF, ZFC,... ? (Par exemple dans ZF + HC, la question est triviale :-D )
En effet, dans ce cas tu peux demander la complexité minimale d'une formule qui , dans la théorie T, est équivalente à HC.
Bon tu le sais sûrement, mais je voulais le préciser.
Disons que, vu comme tu l'as écrite, tu pensais à ZFC (+ cf. une discussion avec Christophe, où il m'expliquait que dans ZF, HC n'a pas trop de sens - ce dont témoigne par exemple les phénomènes dus à AD)

Dans ce cas... je ne sais pas :-D (tout ça pour ça)

Il faut aussi dire à quel point on a le droit de tricher. Certainement tu ne veux pas "$\omega_1$" dans le langage, mais quid de $\omega$ ? Bon ça, à la limite ça va pas trop changer la complexité, mais un truc qui risque de changer c'est est-ce que tu autorises $A\times B$ ? (À un niveau de complexité près, $\{x,y\}$) bon c'est des détails mais ça va changer la donne au total de 3-4 niveaux de complexité (sauf s'il y a une manière astucieuse de faire)

Dernière remarque : j'oublie toujours ces résultats, mais il y a un truc genre absolutié de Shoenfeld ou je-ne-sais-quoi qui te minore ta conplexité puisque HC n'est pas absolu entre $L$ et $V$. En travaillant plus, certainement on peut minorer par la véritable borne

Ou peut-être "tout ensemble de parties de $\omega$ s'injecte dans $\omega$ ou se surjecte sur les parties de $\omega$" (même remarque sur la notion de fonction et sur $\omega$)

PS : Shoenfield's absoluteness theorem montre que ça ne peut pas être $\Sigma^1_3$ ou moins, parce que ces énoncés passent de $L$ à $V$ , et je pense que mes suggestions ne sont pas loin de $\Pi^1_4$ ou $\Sigma^1_4$, donc pas loin de la borne inférieure imposée par Shoenfield. Il faudrait l'écrire. Sachant que $\omega$ et les couples sont absolus entre $L$ et $V$, on peut faire le même genre de choses en s'autorisant ces machins dans le langage

Je reprends en étant un peu moins confus (désolé Martial, je bombarde ton fil de bêtises :-D )

Si on définit $\Sigma^0_0= \Delta_0^0 = \Pi^0_0$ en autorisant les quantificateurs bornés ($\forall x\in y, \exists z\in w$), et en autorisant le symbole $\omega$, alors ma deuxiéme suggestion peut s'écrire (je crois) en $\forall \exists\forall$, donc en $Pi_3^0$

En retirant le droit à $\omega$, il faut rajouter un $\exists$ devant + un truc de basse complexité (quasiment tout dans $z=\omega$ est borné, donc $z=\omega$ est $\Pi^0_1$ si je ne dis pas de bêtises encore), et donc on atteint du $\Sigma^0_4$

J'ai du mal à imaginer aller plus bas, en s'autorisant ou pas $\omega$. Apparemment Shoenfield parle de la hiérarchie analytique, mais je pense qu'il y a des résultats similaires pour la hiérarchie arithmétique.

Je m'arrête là avant de dire plus de bêtises

Sous AD, toute partie non dénombrable de $\R$ contient un fermé non dénombrable.

Pour les symboles, ça dépend si on part de $\N$ ou de $\R$.

Si c'est $\N$, quantifier sur les entiers niveau 0, quantifier sur les réels niveau 1, sur les parties de $\R$ niveau 2, etc

Si c'est $\R$, quantifier sur les réels niveau 0, sur les parties de $\R$ niveau 1, etc

Le niveau d'alternances de quantificateurs se met en bas et le niveau d'itération par $P$ en haut? En tout cas c'est ce que maxtimax a restitué à son last post. Moi j'avais fait l'inverse. Comme une montée de niveau écrase tout, un $\pi_n^k$ est toujours $\pi_0^{k+1}$, etc, etc.

Bon de toute façon, le mieux c'est de dire explicitement les formules.