I0

J'ai lu... A un moment, heureusement qu'ils sont récompensés ces chercheurs, car ils doivent vraiment avoir l'impression d'avoir été envoyés sur Mars sans pouvoir revenir.

Personnellement, je trouve qu'on a trop focalisé sur rapprocher $M$ de $V$. Et on a trop peu investigué dans l'autre sens, à savoir rapprocher $M$ de $L$ (qu'il ne peut pas atteindre non plus) sans toucher à $V$.

Par ailleurs, on n'a pas du tout cherché à automatiser, à savoir chercher une $\phi$ naturelle qui à tout énoncé $A$ associe un axiome de grand cardinal $B$, tel que

$$ cons(ZF+A) \iff cons(ZFC+B)$$

ce qui est dommage, car au fond Woodin est monté jusqu'à $I0$, puis est redescendu jusque plus bas que les supercompacts pour obtenir

$$ L[\R]\models AD$$

et ça ressemble trop à de l'artisanat.

Mon caprice est "bad", car il est trivial et n'apporte rien au fait que $X = \{x \mid j(x)\in j(X) \}$, mais sinon, oui, il y a tout plein de manières de jouer.

Par exemple existe-t-il $\phi, \kappa,\mu$ telle que

0/ $\phi(\kappa)=\{\mu \}$

1/ $\forall x: \phi(x)$ dénombrable

2/ Pour tout ensemble $A$, il existe $f$ de domaine $A$ telle que $f$ plonge élémentairement même si partiellement $V$ dans $V$ et $\forall a\in A: f(a)\in \phi(a)$

Autre exemple, $j$ ne peut pas exister, mais son existence virtuelle telle que définie dans ma thèse est-elle faible? La réponse dépend de $j$, mais peut-on faire tendre le degré associé vers le plus petit des degrés? Pour avoir un énoncé cash à la place de tendre, on peut demander s'il existe un plongement quantique de $V\to V$ qui bouge un ordinal bien précis et imposé $\kappa$

Exemple encore, on peut faire varier les modèles et mettre des quantificateurs dessus:

soit $u$ une suite d'ordinaux. On considère les $j:V\to_{ \kappa } M$ (on dit qu'ils sont bleux) tels que $u_0=sup_n j^n(\kappa)$ qu'on note habituellement $\lambda$, $\kappa=u_1$, $j(\kappa)=u_2$, etc.

Est-ce que tout ensemble est dans le $M$ d'un $j$ bleu?

Il y a plein d'autres façons de s'amuser à demander que $V$ soit proche de $M$

On peut aussi demander que $j$ conserve des trucs, même si par Kunen on sait que pour tout bon ordre $S$ sur $\lambda^\N$, on a $j(S) \neq S$, on peut descendre un chouya.

:-D oui et sa réponse est non:-D

En remplaçant ON par CARD, peut être que ça ira mieux?

C'est bien plus simple: $\{f(x)\mid x\in\lambda\}=\{j(x)\mid x\in\lambda\}$ n'appartient à aucun des $M$ évoqués, de par Kunen.

Un axiome ultrapuissant et probablement inconsistant, mais sait-on jamais est le suivant:

Il existe un plongement $j:V\to M$ tel que pour toute partie $X$ de $ON$, il existe un générique $G$ sur "le" forcing à poset dénombrable qui rajoute un réel de Cohen tel que $X\in M[G]$.

Ceci doit évidemment, pour le dire proprement, s'entendre avec $V,M$ dénombrable transitifs et bien fondés et la lettre $V$ symbolise que $\forall a\in V: j\cap a\in V$

Si c'était consistant, on pourrait dire que c'est le meilleur axiome de grand cardinal jamais inventé car il relie d'une manière magistrale les GC aux nombres réels. Je le mets donc en vert :-D