Où trouver des sujets de recherche ?
Bonsoir,
Questions adressée à ceux qui font des maths hors des circuits "officiels" (enseignement, fac, labos R&D) : où trouvez-vous vos sujets d'investigation, en dehors des sempiternels exercices posés aux concours et qu'on trouve chaque année dans la RMS ou l'AMM ?
L'idée derrière cette question est de trouver un moyen de continuer de faire des maths intéressantes non pas avec "ce qui existe déjà" – comme lorsqu'on prépare un concours ou qu'on cherche des exercices pour le plaisir –, mais avec ce qui reste à découvrir, quitte à devoir faire un petit investissement théorique (et soyons fous, débordons le cadre des maths pures : on peut penser à l'informatique, la physique, la modélisation, le numérique, etc.).
Toute idée est bonne à prendre :-).
Bon réveillon !
Questions adressée à ceux qui font des maths hors des circuits "officiels" (enseignement, fac, labos R&D) : où trouvez-vous vos sujets d'investigation, en dehors des sempiternels exercices posés aux concours et qu'on trouve chaque année dans la RMS ou l'AMM ?
L'idée derrière cette question est de trouver un moyen de continuer de faire des maths intéressantes non pas avec "ce qui existe déjà" – comme lorsqu'on prépare un concours ou qu'on cherche des exercices pour le plaisir –, mais avec ce qui reste à découvrir, quitte à devoir faire un petit investissement théorique (et soyons fous, débordons le cadre des maths pures : on peut penser à l'informatique, la physique, la modélisation, le numérique, etc.).
Toute idée est bonne à prendre :-).
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Réponses
Je trouve certains de mes sujets sur l'encyclopédie en ligne des nombres entiers. Il y traine des conjectures plus ou moins intéressantes. Certaines clairement inaccessibes d'autres plus réalistes. Il faut utiliser le moteur de recherche interne pour essayer de tomber sur quelque chose qui plait. Je ne tape pas "prime conjecture" qui renvoit à trop de choses sans contenu et dans ce domaine il existe assez de conjectures connues. En revanche "conjecture combinatoric" retourne plus de 600 suites dont des non classiques et une conjecture qui m'interpelle en ce moment concerne par exemple la suite A332603.
Je pense que certaines Questions sans réponse de la RMS sont des sujets de recherche qui ne sont pas méprisables. La liste est téléchargeable sur le site.
amicalement,
e.v.
Utiliser arXiv me paraît une bonne idée, mais présente le danger qu'on y trouve tout de même tout et n'importe quoi si j'en crois ce qu'on lit ici ou ailleurs. J'avais pensé aux journaux (CRAS, etc.), et aux sites professionnels des chercheurs qui présentent leurs papiers (publiés ou preprint). Si certains ont des retours d'expérience sur le sujet, je suis toujours preneur... :-)
Il y a aussi si c'est en théorie des nombres par exemple le livre
Unsolved problems in number theory de Richard Guy chez Springer.
Bien à vous.
En 1965, Kolakoski [4] introduisit la suite auto-génératrice $(K_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$, à valeurs dans $\{1,2\}$, et définie par $K_1 = 1$ et $K_n$ est égal à la longueur du $n$ème bloc. Voici les premiers termes :
$$\begin{array}{c|rrrrrrrrrr}
n &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
K_n &1&2&2&1&1&2&1&2&2&1
\end{array}
$$ On conjecture que la densité de "$1$" est égale à $\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{\substack{j=1 \\ K_j = 1}}^n 1 = \frac{1}{2}$.
Sujet de recherche. Après avoir lu plusieurs références sur ce sujet (voir par exemple ci-dessous), proposer une idée pour avancer vers la recherche d'une solution à ce problème ouvert.
Références.
[1] O. Bordellès & B. Cloitre, Bounds for the Kolakoski sequence, J. Integer Seq. 14 (2011), Article 11.2.1.
[2] V. Chvátal, Notes on the Kolakoski sequence, DIMACS Technical report, 1993.
[3] A. Hammam, Some new Formulas for the Kolakoski Sequence A000002, Turkish J. Anal. Number Theory 4 (2016), 54-59.
[4] W. Kolakoski, Problem 5304: self generating runs, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 674.
[5] N. J. A. Sloane, The On-line Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org.
[6] B. Steinsky, A recursive formula for the Kolakoski sequence, J. Integer Seq. 9 (2006), Article 06.3.7.
Ce n'est pas dans cette direction que je souhaite aller (ou essayer d'aller :-D...).
https://www.springer.com/gp/book/9783540206149
Je pense le contraire, vu le comportement erratique de cette suite, et, surtout, vu le nombre de publications ces dernières années qui n'ont pas fait avancer du tout le schmilblick.
D'autre part, la recherche ne porte pas toujours sur des sujets "à haute technologie", ceux-ci étant généralement peu accessibles aux primo-doctorants, et c'est bien normal.
La conjecture (je devrais même dire "les" conjectures) concernant la suite de Kolakoski est (sont) très certainement hors de portée de la connaissance actuelle, avec ou sans outils technologiques de haut vol.
Résumé du sujet (abstract).
Une situation maintenant classique en théorie analytique des nombres consiste à étudier au sein des entiers naturels l'indépendance statistique entre une condition de type multiplicatif et une condition de type digital (c'est-à-dire en lien avec les chiffres dans une certaine base de numération). De tels problèmes sont réputés particulièrement difficiles, notamment lorsque les entiers satisfaisant à la condition multiplicative sont ``rares'' (par exemple, les nombres premiers, les carrés parfaits).
Des résultats spectaculaires de cet ordre ont été obtenus ces vingt dernières années (cf. notamment les travaux de Mauduit-Rivat, Mauduit-Rivat-Drmota, Bourgain) et stimulent de nombreux travaux.
En 1998, Erdös, Mauduit et Sarközy ont débuté l'étude des propriétés multiplicatives des nombres dits ellipséphiques, c'est-à-dire des nombres entiers dont le développement dans une base q fixée ne comporte pas certains chiffres fixés également. En 2000, Konyagin, Mauduit and Sarközy [3] ont suggéré d'étudier les entiers ellipséphiques friables, c'est-à-dire sans grand facteur premier.
Col [1] a obtenu plusieurs résultats de cet ordre en utilisant des techniques de crible. En particulier, la base q et l'ensemble des chiffres à proscrire étant fixés, il obtient l'existence d'un nombre 0<a<1 tel que la proportion de nombres ellipséphiques n'excédant pas un nombre N et dont les facteurs premiers n'excèdent pas N^a soit strictement positive.
Le travail proposé pour cette thèse consiste à préciser et améliorer les résultats de Col en s'appuyant sur les techniques développées par Maynard [2] dans son récent et spectaculaire travail sur les nombres premiers ellipséphiques.
Références :
[1] Sylvain Col. Propriétés multiplicatives d’entiers soumis à des conditions digitales. Thèse, Université Nancy 1,
2006.
[2] James Maynard. Primes with restricted digits. Invent. Math., 17(1) : 127-218, 2019.
[3] Sergei Konyagin, Christian Mauduit et András Sárközy. On the number of prime factors of integers charac-
terized by digit properties. Period. Math. Hungar., 40(1) : 37–52, 2000.
Même si tout le monde n'est pas capable d'avancer sur le sujet lui-même. Il y a possibilité d'apprendre des choses et peut-être de se poser des questions qui ne sont pas celles proposées mais qui en dérivent.
(i) La méthode du col ;
(ii) Le domaine des entiers $y$-friables ;
et j'ajouterais :
(iii) L'identité de Vaughan.
Tous ces outils nécessitent un long apprentissage, non seulement pour les connaître mais aussi, et surtout, pour savoir comment les appliquer à bon escient.
C'est bien dommage !...Notons quand même que, dans les références citées plus haut, on a plusieurs voies qui sont exposées pour tenter d'arriver à la solution :
(i) Chvátal utilise la théorie des mots, et obtient d'ailleurs le meilleur résultat actuel concernant
$$\left| \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1, \, K_j = 1}^n 1 \right) - \frac{1}{2} \right|$$
à condition toutefois de supposer que la limite existe.
(ii) Bordellès & Cloitre ont plutôt une vue arithmétique sur ce sujet : les auteurs expliquent avoir tenté plusieurs méthodes de théorie des nombres, en vain semble-t-il, vu le caractère "fractal" de la suite, et se sont retournés vers de la combinatoire, pour obtenir une majoration moins bonne que celle de Chvátal, mais inconditionnelle. À noter que Cloitre a été pendant plusieurs années un membre (très) actif de ce forum.
Quoi qu'il en soit, ce sujet m'a semble suffisamment intéressant et riche pour perdre du temps à le proposer ici...
Je laisse ceux qui souhaitent se faire une idée par eux-mêmes consulter les 4 documents que j'ai évoqués (je serais curieux de savoir combien les ont cherchés sur internet...).
Bref, je pense que je m'y suis mal pris, je n'aurais pas dû créer ce sujet en "libre accès" mais m'adresser directement à certaines personnes. C'est ce que je ferai désormais.
Merci en tout cas à ceux qui ont répondu et fait avancer un peu la question :-).
Concernant la suite de Kolakoski, et pour y avoir travaillé quelque peu dessus il y a quelques années, je pense que le challenge est grand. D'ailleurs, je crois savoir que deux "camps" se sont formés : ceux qui pensent que la limite $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{\substack{j=1 \\ K_j = 1}}^n 1 $ existe, et ceux qui pensent qu'elle n'existe pas (dont je fais partie, du moins jusqu'à preuve du contraire).
Il existe des bouquins de math niveau M2 qui présentent des problèmes ouverts actuels, ça peut être une piste de départ. Sinon il y a le $\mathbb{TFJM}^2$ qui propose des sujets dont on ne connait pas de réponse complète. Les énoncés sont élémentaires parce que fait pour des lycéens mais ils peuvent a priori s'étudier avec des outils plus complexes.
Pour finir lire des articles sur arxiv n'est pas si risqué que ça à condition de savoir un peu ce que tu fais. Si tu es inquiet de la validité des preuves que tu y rencontre tu peux te contenter des articles arxiv qui ont été publiés par la suite dans des revues avec commité de lecture, arxiv n'étant alors qu'un moyen légal et gratuit d'accéder à ces papiers publiés.
Noix de totos : Merci pour la découverte de cette suite. "Tout le monde" connait la suite de Conway mais celle là je n'en avais jamais entendu parler ! Est-ce qu'il y a des arguments heuristiques qui permettent de supposer que la limite existe et est 1/2 ?
En ce sens, c'est vrai que je ne "maîtrise" pas ces programmes : devant un jury et sans note, à l'heure actuelle, j'aurais du mal à énoncer les résultats les plus costauds de but en blanc et à les démontrer. C'est pour cette raison aussi que j'ai mis de côté la préparation de l'agrégation (interne/externe, quelle qu'elle soit). Je sais parfaitement qu'une grosse part du travail est un effort immense de mémorisation, et je ne peux déjà pas terminer la préparation, comme je le souhaiterais, de l'oral. Ceci dit, je doute qu'il y ait beaucoup de candidats (interne/externe) qui maîtrisent le programme de l'agrégation, même parmi ceux qui finissent dans la première décile ! J'ai déjà raconté un jour cette anecdote d'un prof de physique de prépa (sorti d'une ENS) qui m'avait dit n'avoir vraiment compris certains résultats du programme de CPGE que longtemps après les avoir enseignés. Je pense que le programme en maths est suffisamment vaste pour qu'on en ait encore à découvrir longtemps après avoir réussi le concours...
Bref, tout cela pour conclure finalement, comme je l'ai dit plus haut, qu'il était inutile de me répondre. Noix de totos estime que le sujet a un intérêt en lui-même, alors c'est parfait, je n'aurai pas trop perdu de temps ni en fait perdre à d'autres ;-). Je suis parti sur une autre option parmi celles que j'avais devant moi quand j'ai lancé ce sujet (je vais essayer de mettre en forme ce que j'ai déjà écrit pour en faire un cours, un livre... ou un best-seller :-D !).
Le regretté Richard K. Guy a écrit plusieurs livres de problèmes non résolus.
Par exemple Unsolved Problems in Number Theory.
ou Unsolved Problems in Geometry
ou Unsolved Problems in Combinatorial Games
Il a tenu une chronique régulière dans l'American Mathematical Monthly. Par exemple :
Don't try to Solve these problems AMM (1983) pp 35-40.
Si tu veux arrondir tes fins de mois, regarde de ce côté.
Sinon, perdu pour perdu, autant aller à la pêche.
amicalement,
e.v.