Énigmes légères grands cardinaux

Comme mes journées sont focalisées sur l'étude de l'intégrisme, je vous transmets des chtites questions sur les GC du fait que Martial dynamise cette partie du sujet depuis pas mal de fils.

Je n'ai ni vraiment les réponses (si j'écrirai "exercices"), ni vraiment la "certitude de l'avoir eue un jour. C'est plus simple de le dire comme ça car parfois j'ai l'impression d'avoir eu la réponse dans le passé, mais la mémoire...

Je rappelle le cadre pour que ce soit self-contained.

1/ On est dans ZFC (si je retire l'axiome du choix, je le dirai). Sans axiome de fondation, car ça ira plus vite.

2/ On ajoute l'axiome suivant: pour tout ensemble $A$ et tout ensemble $B$ il existe une unique $\phi$ (que je noterai $Col(A,B)$) telle que pour tout $x\in A$:
$$
\phi(x) = \{ \phi(y) \mid (y,x)\in B \}

$$ 3/ je rappelle que $dom(X) := \{x\mid \exists y: (x,y)\in X\}$

4/ Soit $E,F,G$ des ensembles. Notons $T$ l'ensemble des applications de $E$ dans $F$. Je noterai $\sigma(E,F,G)$ l'unique $\phi$ de (2) où $A:= T$ et $B:=$ l'ensemble des couples $(f,g)\in T$ tels que $\{x\mid f(x) \in g(x)\} \in G$

5/ Lorsque j'utiliserai la lettre majuscule $V$ cela signifie ra que c'est un ensemble inaccessible, ie stable par $P$ et tel que dès qu'il ne contient pas comme élément un de ses parties, c'est qu'elle a le même cardinal que $V$ tout entier.

6/ Soit $E$ un ensemble et $G$ un ultrafiltre sur $E$ et $V$ tel que $E\in V$. L'image directe $M$ de $\sigma(E,V,G)$ est appelée ultrapuissance de $V$ par $G$. Si $V$ vérifie l'axiome de fondation et $G$ est stable par intersection dénombrable alors $M$ vérifie aussi AF et est un modéle de ZFC. Et on note $j:V\to M$ pour en plus décrire la fonction $j: x\mapsto \phi([y\in E\mapsto x])$.

7/ Il peut arriver qu'on ait $j:V\to M$ sans être partie d'un ultrafiltre, dans ce cas cette notation signifie que $M$ est transitif et que pour tous éléments $x$ de $V$, et toute formule sans paramètre $R$, on a $V\models R(x_1,..)$ implique $M\models R(j(x_1),j(x_2),..)$

Voici les questions "amusantes" ou "anecdotiques" qui me viennent.

Q1.1/ Est-il possible que $G\in M$ quand on a la situation précédente et $G$ stable par intersections dénombrables (je crois que non, mais rien ne me vient d'évident pour le prouver)

Q1.2/ Est-il possible que $G\in M$ quand on a la situation précédente et $G$ n'est pas stable par intersections dénombrables (je crois que non, mais rien ne me vient d'évident pour le prouver)

Q2/ Soit$j:V\to M$ comme dans (7). On suppose que $a,b$ sont dans $M$ et qu'il y a une surjection de $a$ sur $b$. Est-ce qu'il y a forcément une telle surjection qui est dans $M$. Evidemment, on peut se poser la question que $M$ soit ou ne soit pas bien fondé, voire distinguer les cas.

Q3/ Soit $j:V\to M$ comme dans (7) qui n'est pas l'identité. Existe-t-il forcément un ordinal $a$ tel que $j(a)\neq a$?

Voili voilou, si je pense à d'autres questions, je posterai dans ce fil.

Je termine par une question vague mais assez fascinantes:

QV1/ Soit donc $V$ un ensemble inaccessible. On sait qu'il existe une partie $C$ de $V$ tel que:

1/ $C\notin V$
2/ $\forall a,b$ dans $C$, on n'a pas $a\subset b$.

Prendre par exemple l'ensemble des singletons.

Occupation de pluie: essayer de rtouver des exemples de tels $C$ qui soient le moins possible "platoniciens" dans le sens que le niveau 0 du platonisme est quand on identifie deux objets isomorphes. L'ensemble des singletons est aux antipodes de cette tendance. L'archétype d'objet non platonicien est "être une théorie" (peu importe la notion de théorie, du moment qu'on peut changer les noms). Mais là, hélas un axiome de grand cardinal exprime qu'il n'y a pas de contre-exemples. (Il s'appelle Vopenka Conjectur).
A mon sens, il peut être rigolo de chercher des trucs "un peu platoniciens" mais pas trop qui soient des contre-exemples. Evidemment on sait alors qu'on ne pourra pas identifier les trucs isomorphes. L'idée est de trouver le "mais presque" limite.