I have a dream

Poirot a écrit:

Si tu ne sais même à quoi ça sert (cf. ta troisième question) pourquoi est-ce que tu veux te lancer là-dedans ?

Non, moi, je connais une partie de l'histoire, mais j'aimerais avoir une idée plus claire sur, où voulait Grothendieck être emmené ?

Voici une des raisons où l'on cherche à réaliser ''the Grothendieck's dream''.

Si $ B $ est un espace topologique non nécessairement connexe, les revêtements $ F \hookrightarrow E \to B $ sont classifiés par les actions du groupoîde fondamental $ \prod_1 ( B ) $ sur $ F $, c'est à dire, par les foncteurs $ \prod_1 (B) \to \mathrm{Aut} (F) $.

Mieux encore, on peut autoriser que la fibre $ F $ diffère dans chaque composante connexe de $ B $.
En conséquence, les revêtements $ E \to B $ sont classifiés dans ce cas là par les foncteurs $ \prod_1 (B) \to \mathrm{Ens} $.

Si on note, $ T $ le foncteur de classification, défini par, $$ T (B ) = \{ \ \text{revêtements de} \ B \ \} $$, alors vouloir dire que les revêtements $ E \to B $ sont classifiés dans ce cas là par les foncteurs $ \prod_1 (B) \to \mathrm{Ens} $, revient à dire, que, $ T(B) = \mathrm{Hom} ( \prod_1 (B) , \mathrm{Ens} ) $.

Si vous connaissez un peu de théorie de classification, pour qu'un objet $ \mathrm{Ens} $ soit un classifiant pour $ T $, il faut avoir, $ T(B) = \mathrm{Hom} ( B , \mathrm{Ens} ) $, et non, $ T(B) = \mathrm{Hom} ( \prod_1 (B) , \mathrm{Ens} ) $.

D'où le rêve de Grothendieck que, $ \prod_1 (B) = B $.

Ajoutons à cela, qu'on préfère aussi que, $ \prod_n (B) = 0 $, pour qu'une partie de la théorie topologique ( théorie des revêtements ) s'identifie à la théorie des $ 1 $ - groupoïdes. Dans ce cas là, on appelle $ B $ a homotopy $ 1 $ - type, et on le note $ K (G,1) $ pour ce cas assez restrictif où il désigne l'espace d'Eilenberg Mac Lane, avec, $ G = \prod_1 (B) $.