L'axiome I3
Salut à tous,
Je parcours en diagonale l'article de Voncenzo Dimonte : "I0 and the rank-into-rank axioms".
Page 8 je lis la chose suivante (je résume) :
On suppose I3. Soit $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$, de point critique $\kappa$, avec donc $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n \in \omega\}$.
On pose $\kappa_n = j^n (\kappa)$.
1) Chaque $\kappa_n$ est mesurable : OK.
2) Donc, $\lambda$ est fortement limite : OK.
3) Donc $|V_{\lambda}| = \lambda$ : c'est là que je ne suis pas d'accord. Cette propriété est vraie pour les inaccessibles, mais là $\lambda$ est loin d'être régulier, puisqu'il est de cofinalité dénombrable !
Vous en pensez quoi ?
Je parcours en diagonale l'article de Voncenzo Dimonte : "I0 and the rank-into-rank axioms".
Page 8 je lis la chose suivante (je résume) :
On suppose I3. Soit $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$, de point critique $\kappa$, avec donc $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n \in \omega\}$.
On pose $\kappa_n = j^n (\kappa)$.
1) Chaque $\kappa_n$ est mesurable : OK.
2) Donc, $\lambda$ est fortement limite : OK.
3) Donc $|V_{\lambda}| = \lambda$ : c'est là que je ne suis pas d'accord. Cette propriété est vraie pour les inaccessibles, mais là $\lambda$ est loin d'être régulier, puisqu'il est de cofinalité dénombrable !
Vous en pensez quoi ?
Réponses
-
Pour tout $n$, $|V_{\kappa_n}|= \kappa_n$ (par mesurabilité et donc inacessibilité), donc $|V_\lambda| \leq \sum_n |V_{\kappa_n}| = \lambda$, non ?
-
Whaouh, merci Max !
C'est bien ce que je pensais : ce truc n'est pas vrai tout le temps, mais il est vrai dans ce contexte particulier.
Tu fais vraiment partie des gens indispensables sur ce forum.
Bonne soirée à toi
Martial -
Aucun souci ;-)
Effectivement, je ne pense pas que ce soit vrai en général; certainement la preuve naïve ne convient pas par manque de régularité.
Prenons par exemple la situation suivante : si l'hypothèse du continu généralisée est vérifiée, alors $\aleph_\omega$ est fortement limite. Pourtant, $V_{\omega+n}$ a alors pour cardinal $\aleph_n$, de sorte que $V_{\omega+\omega+1}$ est déjà trop gros alors $V_{\aleph_\omega}$ encore plus.
Ce dont je ne suis pas sûr c'est s'il est prouvable qu'un $\lambda$ contrexemple (i.e. fortement limite mais sans l'égalité de cardinaux) existe. Si je devais parier, je parierais que c'est le cas mais rien de moins sûr
Ah ! Si en fait :-D le raisonnement que j'ai fait juste au-dessus marche en remplaçant $\aleph_\omega$ par $\beth_1$, le premier fortement limite, aussi connu sous le nom de $|V_{\omega+\omega}|$
Bonne soirée à toi aussi -
Je ne comprenais rien à ton raisonnement ci-dessus, et il m'a fallu 1/4h pour percuter que tu avais juste fait une faute de frappe : il fallait lire $\beth_{\omega}$ au lieu de $\beth_1$.
Autant dire que j'ai le cerveau lent... -
Euuuh oui tout à fait - pour être honnête c'était pas une faute de frappe, mon cerveau s'était hier convaincu que les $\beth$ se calculaient en prenant des limites à chaque étape, ce qui est évidemment absurde :-D
Mais oui, $\beth_\omega$, "évidemment" -
En fait tu viens d'inventer une nouvelle notion : un cardinal $\kappa$ est dit faiblement fortement limite ssi
$$\forall \lambda,\quad \lambda < \kappa \Rightarrow 2^{\lambda} \leq \kappa.$$ -
De mon téléphone Martial. Ce n'est pas un leq, mais un < .Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@Christophe : je sais bien.
Mais comme d'hab tu n'as pas lu ce qu'il y avait au-dessus : c'est une sorte de jeu de mots pour dont auquel le comprendre il eût fallu que tu lusses la prose de Max, lol. -
Ah , ok, encore eût-il fallu que je le susse :-D comme on dit souvent. J'ai essayé de t'imiter, mais mon français...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
"J'ai essayé de t'imiter, mais mon français..."
Non non, ta phrase est parfaitement correcte. -
Mais j'eusse aimé qu'elle fût originale :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Ce qu'on m'avait appris quand j'étais jeune : "Il eût fallu que tu me le disses afin que je le susse".
Maintenant tu ne peux plus le dire car il y a toujours un blaireau qui va fayoter pour dire que tu parles de "choses non autorisées" avec tes élèves.
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