I3 vs hugeness
Bon, certes je prends un peu d'avance, mais je cherche une référence avec la preuve que I3 implique la consistance de l'axiome "il existe un cardinal qui est super $n$-huge pour tout entier $n$".
Plus précisément, je crois que si $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$ a pour point critique $\kappa < \lambda$**, alors $V_{\lambda} \models \kappa$ est super $n$-huge pour tout $n$.
** auquel cas on a $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n < \omega\}$, où $j^n$ désigne l'itéré nième de $j$.
Merci d'avance
Martial
Plus précisément, je crois que si $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$ a pour point critique $\kappa < \lambda$**, alors $V_{\lambda} \models \kappa$ est super $n$-huge pour tout $n$.
** auquel cas on a $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n < \omega\}$, où $j^n$ désigne l'itéré nième de $j$.
Merci d'avance
Martial
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
G pas compris.
[www.exstrophie-apex.fr]
G pas compris non plus.
Sorry
Bon, c'est un peu le labyrinthe, il faut faire plein d'allers-retours dans le chapitre pour rédiger la preuve correctement, mais je dois pouvoir arriver à reconstituer le puzzle. (Pas aujourd'hui, j'ai passé la journée à faire des achats de Noël à Paris et je suis complètement naze).
Autre chose : il le fait seulement pour les cardinaux n-huge, et pas pour les super-n-huge, mais là encore on devrait s'en sortir grâce au phénomène connu sous le nom de la "double hélice".
Enfin, merci quand même de t'être penché sur mon problème.
Il faut maintenant que je redescende de I3 jusqu'à la définition des huge.
Si tu l'as trouvé tant mieux.
J'espére qu'il n'y a pas de livres de set theory cachés dans tes cadeaux où une frise das GC pour les plus petits. (Pourquoi pas? lol)
Je profite de passer pour dire que je suis anti-$I_{machins}$. Je préfère les axiomes avec la contrainte de forme
$$
Blabla ...j:V\to M \dots M^{Tant} \subset M,
$$ qui a le mérite de FORCER l'existence d'un entier $n$ tels que $non[M^{j^n(\kappa)}\subset M]$ donnant lieu au jeu intérieur: "plus je suis superman, plus ledit $n$ est grand, mais il existera toujours"
Si $\kappa$ est $4$-huge, qu'est-ce qui te permet d'affirmer qu'il n'est pas $29$-huge ?
Mieux : qu'est-ce qui te permet d'être sûr qu'il existe un entier $n$ tel que $\kappa$ n'est pas $n$-huge ?
Encore mieux : comment peux-tu être sûr que $\kappa$ n'est pas I3, au sens où blabla $V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$ blabla, avec $\lambda = j^{\omega}(\kappa)$ ?
Pour tout j (en notant k son cp), il existe un entier n et une famille de j^n(k) éléments de M qui n'est pas dans V (la famille)
Je te laisse le prouver. Indice: c'est très facile :-D avec ce que tu sais.
Je note $a_n:=j^n(\kappa)$
Supposons que $\forall n: M^{a_n}\subset M$.
Alors $A_n:=\{j(x)\mid x\in a_n\}$ est dans $M$ pour tout $n$.
De plus la suite $n\mapsto A_n$, dont chaque terme est dans $M$ est aussi dans $M$, car $M^\omega\subset M$.
Donc (Kunen-ctradiction) : $\{j(x)\mid x<\lambda\}$ est dans , puisqu'il est la réunion de la suite précédente $M$.
Par ailleurs, me donnes-tu l'autorisation de mettre cet exo dans mon livre, comme application de la borne de Kunen ?
En fait à la base on s'est mal compris, c'est une question d'interversion de quantificateurs. Moi je disais qu'il pouvait exister un kappa qui soit n-huge pour tout n. Mais cela suppose qu'il y a un $j_4$ qui témoigne de la $4$-hugeness de $\kappa$, et un $j_{29}$ qui témoigne de sa $29$-hugeness. Toi ce que tu dis c'est qu'on ne peut pas réaliser tout ça avec le même $j$.
Ça m'a pris du temps mais j'ai fini par comprendre, lol.
@Christophe : comme tu le vois, j'ai choisi mon destin.
Mais il y a quand même un truc qui ml'embête.
La preuve de Kunen que je connais utilise le lemme suivant : si $j : \mathbb{V} \prec M$ avec $cr(j)= \kappa$ et si on pose $\lambda = \sup \{j^n(\kappa) \mid n \in \omega\}$, alors $V_{\lambda +1 }$ n'est pas inclus dans $M$.
Mais dans ta preuve tu sembles utiliser le fait que $j[\lambda]= \{j(x) \mid x < \lambda\} \notin M$.
Ça revient au même ?
Je fais comme mes (anciens) étudiants, je commence à poser des questions avant de réfléchir. Sorry
Me donnes-tu l'autorisation de mettre cet exo en toutes lettres dans mon livre, comme application de la borne de Kunen ?
Ah merde, c'est interdit ! (Et puis de toutes façons je ne sais pas skier, lol).