Masse volumique

Tu considères la masse comme une mesure $\sigma$ finie et absolument continue (c'est une représentation classique des volumes en mathématiques), la masse volumique est alors la densité de cette mesure (la dérivée de Radon Nikodym), et on peut démontrer qu'elle est positive presque partout (et unique à ensemble négligeable près).

Ta propriété de limite se ramène alors au théorème de différentiation de Lebesgue (la masse volumique c'est la "dérivée" de la masse par rapport au volume, la masse étant définie alors comme l'intégrale de la masse volumique sur le volume).

Par rapport à la mesure de Lebesgue. Sachant que si tu veux démontrer une propriété mathématique, il faut bien faire des hypothèses à un moment donné, qui sont discutables ensuite du point de vue physique.

T'aider à quoi ?

Supposons que la masse volumique ne soit pas presque partout positive. Considérons l'ensemble $A$ (mesurable car la masse volumique l'est par définition) où elle est strictement négative. Alors $A$ est de mesure strictement positive (sinon par définition l'ensemble où la masse volumique est strictement négative serait négligeable).

Et donc l'intégrale de la masse volumique sur $A$ (qui est la masse de $A$ par définition) est strictement négative, ce qui est absurde.

N.B : L'intégrale d'une fonction $f$ strictement négative sur un ensemble de mesure $A$ strictement positive est négative. En effet, $A = \cup_{n\in\mathbb N^*} \{ x \mid f(x) < -1/n\}$. Donc par continuité monotone, il existe $n \neq 0$ tel que $B = \{ x \mid f(x) < -1/n\}$ soit de mesure strictement positive. Et alors $\int_A f \leq -1/n \lambda(B) < 0$.

$A = \{ x \in\mathbb R^3 \mid \rho(x) < 0\}$ avec $\rho$ la masse volumique telle que définie dans mon premier message.

J'ai corrigé, mais le inférieur ou égal ne change rien par rapport au strictement inférieur.