Infinité de nombres premiers dans Peano

@Calli : Max a fait tout le boulot. Je rajoute juste une précision.
Ce que tu as démontré en cours c'est ce qu'on appelle vulgairement la version faible de LS. Si j'ai bien compris Adrien a fait d'une pierre 2 coups. Il a démontré simultanément le théorème de complétude : toute théorie cohérente a un modèle (les constantes que tu rajoutes au langage sont appelées les témoins de Henkin), puis (pour simplifier je prends le cas particulier, le plus utilisé dans la pratique, où le langage de base est dénombrable) que si une théorie a un modèle infini de cardinalité quelconque, alors elle a un modèle dénombrable.
La version forte de LS dit que tu peux de plus exiger que ton modèle dénombrable soit une sous-structure élémentaire du modèle initial (voir la définition dans le point 3) de Max).
C'est pour ça que je me permettais de parler d'élémentarité, je pensais que tu connaissais.

Martial : $\mathbb L$ est minimal parmi les modèles qui contiennent tous les ordinaux. Si on veut, c'est le modèle le plus "fin" parmi ceux qui ont la bonne taille. En principe (modulo incohérence des cardinaux inaccessibles, ou même tout bêtement mondains) rien n'interdit un modèle de la forme $V_\kappa$ (ou, plutôt $V_\kappa(\mathbb L)$) qui serait plus petit.

Un petit point sur le non paradoxe de Skolem.
J'ai un petit cahier où, pour chaque notion ou paradoxe où j'ai butté, je note la meilleure explication que j'ai lue ou entendue. Celle la vient d'un cours d'Adrien, je ne sais pas si cette année il en reparlera de la sorte mais pour les non Ulmiens elle peut peut-être aider.

Adrien en parlera dans une leçon après la compacité, mais comme il a un peu changé son poly cette année, je la donne à tous

En théorie des modèles, les plongements préservent l'interprétation et les morphismes élémentaires la satisfaction.

Théorème: Soit $M\models ZFC$, alors $M$ contient une sous structure élémentaire dénombrable $M_0$. Notamment $M_0\models ZFC$

Si on note $On$ la classe (définissable) des ordinaux de Von Neumann, par élémentaire inclusion:
$On(M_0) = On(M) \cap M_0$.
Notamment $M$ et $M_0$ ont même premier ordinal limite $\omega$.
Un objet de $M_0$ est dénombrable au sens de $M_0$ s'il l'est au sens de $M$.
La dénombrabilité est l’existence d'une bijection (ensemble d'un certain type) avec $\omega$ : c'est une propriété du premier ordre $\varphi(x,\omega)$.
Si $a$ est un point de $M_0$, on a bien $a$ est $M_0$-dénombrable ssi $M_0\models \varphi(a,\omega)$ ssi $M\models \varphi(a,\omega)$ ssi $a$ est $M$-dénombrable. Il n'y a donc pas de différence entre la dénombrabrilité dans $M_0$ et dans $M$.

En théorie des ensembles, on montre aisément que la classe de tous les ensembles n'est pas dénombrable ; $M_0$ ne l'est donc pas. Le paradoxe serait plutôt là. Pour le lever, on observe que le raisonnement précédent n'est valable que pour les objets de $M_0$: $M_0$ n'est pas un objet de $M_0$ (il n’existe pas d'objet de $M_0$ codant pour $M_0$.

Il y a deux interprétations à la phrase: La classe de tous les ensembles n'est pas dénombrable.

1) par référence à un $\omega)$ propre au modéle, comme ci dessus.

Cette interprétation est formalisable ; la $M$-dénombrabilité et la $M_0$-dénombrabilité coïncident pour les objets de $M_0$ ; $M_0$ est un objet de $M$, mais pas de $M_0$ ; ainsi $M\models \exists f : M_0 \simeq \omega$ mais cette information n'est pas transférable puisque le paramètre $M_0$ n'est pas élément de $M_0$ ; il n'y a pas de paradoxe.

2) par référence à une entité absolue, indépendante des modèles.

Dans ce second cas, on voit mal où vivraient les bijections codant la dénombrabilité : la dénombrabilité cesse d'être une propriété formelle, et l'inclusion élémentaire de $M_0$ dans $M$ est inexploitable ; il n'y a pas de paradoxe (ni d'ailleurs de cadre formalisant la dénombrabilité sans ambiguïté).


En conclusion si hiatus il y a, ce n'est pas entre deux notions relatives de dénombrabilité (dans $M_0$ contre dans $M$), mais entre une notion absolue intuitive (et partant informalisable, inopérante) et une notion relative (formalisable).

L'explication de Foys est celle que je donne à chaque fois et me semble de loin la plus simple à comprendre.

Je ne pense pas qu'Adrien ait le même but que Cossery Albert après la lecture de son polycopié, l'un par rapport à la logique, l'autre au travail. Mais il m'arrive d'en douter sérieusement.

Effectivement, il y a plus simple.

@calli : tu as raison concernant ta citation du post d'axexe.
Je change en notations standard : on note $V$ l'univers des ensembles et $M$ le modèle transitif dénombrable de ZFC.
Comme $M \models ZFC$, il y a dans $M$ d'énormes cardinaux : $\aleph_{19}$, $\aleph_{\omega}$, le plus petit point fixe de la fonction aleph, éventuellement un inaccessible etc.
Mais, vu de $V$, tous ces cardinaux sont égaux, et dénombrables... tout simplement parce que $M$ ne "voit pas" les bijections.

Personnellement je trouve les deux explications très claires...
Sauf que Loeser semble "vivre" dans un monde externe, dans lequel il fait la métamathématique qui permet de parler des modèles de ZFC.
Moi je préfère dire que je vis déjà dans un modèle de ZFC, dont j'étudie des sous-modèles et des extensions génériques.
C'est une simple question émotive, qui n'a pas de grandes répercussions au plan mathématique.

@Calli

Citation:
axexe
la M-dénombrabilité et la M0-dénombrabilité coïncident pour les objets de M0

Callli
J'ai des doutes, là. Par exemple, le P(N) de M0 est un objet de M0 qui est indénombrable dans M0 mais dénombrable dans M.

Tu parles bien de l'"interprétation de P(N) dans M0" qui est dénombrable dans M?

Je joins l'explication du poly de Deloro de cette année (qu'il a du te donner hier)
Il y aura assez d'explications sur ce non paradoxe pour ne plus en parler B-)-.

$\mathcal{U}_0$ est une sous-structure élémentaire de $\mathcal{U}$, et la dénombrabilité s'exprime au premier ordre, donc la dénombrabilité est bien préservé entre $\mathcal{U}_0$ et $\mathcal{U}$ (c'est le premier tiret du texte, il n'y a pas de problème ici).
L'ensemble $p$ que tu définis n'est pas a priori l'ensemble des parties de $\omega$ calculé dans $\mathcal{U}_0$, car justement $\mathcal{U}_0$ n'est pas forcément transitif. Les sous-structures élémentaires sont rarement transitives (c'est pour ça qu'on introduit le collapse de Mostowski). Par exemple, par Lowenheim-Skölem, on peut prendre un $\mathcal{U}_0$ dénombrable tel que $P(\omega) \in \mathcal{U}_0$. Un tel $\mathcal{U}_0$ n'est pas transitif et $P(\omega)$ calculé dans $\mathcal{U}$ ou dans $\mathcal{U}_0$, c'est la même chose, et n'est pas dénombrable, mais il n'y a pas de problème car $P(\omega) \nsubseteq \mathcal{U}_0$.

Merci Mattar.

Cela répond à Calli je pense.

C'est un peu de ma faute, dans le texte que j'avais écris (un ancien poly de Adrien), j'aurais dû écrire en gras sous structure élémentaire et bien mentionner que le sous ensemble n'était pas transitif.
Bref j'ai remis son nouveau poly qui à la place de $M$ met $U$ mais ce sont ses mots.

Ta réponse me fait penser à la preuve de la forme forte du schéma de reflexion= forme faible+théorème de Lowenheim-Skölem+collapse de Mostowski.

@Maxtimax
C'est bien un paradoxe, "non paradoxe" n'était pas le bon terme (c'était un peu ironique).

J'aime bien ta remarque (qui exprime ta vision du paradoxe), qui m'oblige à te poser une question:
Si tu devais expliquer ce paradoxe à un labrador, tu lui dirais quoi? Sans parler de "M ne voit pas les bijections", en terme purement mathématique.

Mattar: En fait la situation que j'avais en tête est plutôt la suivante.
Soient $\mathcal U_0$ une lettre et $F_1,...,F_r,G_1,...,G_s$ une liste finie d'axiomes de ZFC. Soit $A$ l'énoncé "$\mathcal U_0$ est transitif et dénombrable". Pour tout $k$ soit $G_k^{\mathcal U_0}$ l'énoncé $G_k$ relativisé à $\mathcal U_0$.

Alors si ZFC est consistante, $A,F_1,...,F_r,G_1^{\mathcal U_0}, ...,G_s^{\mathcal U_0}$ l'est aussi (par le principe de réflexion, on peut construire dans $ZFC$ un ensemble transitif dénombrable qui satisfait $G_1 \wedge... \wedge G_s$).
Donc la théorie ZFC + $\mathcal U_0$ est transitif dénombrable + tous les énoncés de la forme $X^{\mathcal U_0}$ avec $X$ axiome de ZFC est consistante. En l'espèce, $\mathcal U_0$ exhibe le comportement pathologique dont je parle plus haut. Même si $\mathcal U_0$ n'est pas un modèle de ZFC (l'univers ambient ne le voit pas comme ça), "moralement c'en est un" on va dire.

J'ai surtout l'impression que la théorie des ensembles gère plusieurs couches de méta-discours en même temps ce qui peut très vite rendre les affirmations incompréhensibles. Le coup des modèles qui en fait ne sont pas des modèles m'avait posé pas mal de problèmes (il y a une formule du premier ordre $\Phi(x)$ qui dit "$x$ est un modèle de ZFC" et il y a une méta affirmation méta prouvable "$x$ est un modèle de ZFC" et elles ne sont pas équivalentes...).

C'est quoi S(b) Christophe dans ta réponse à Foys sur son problème avec les mdts de zfc

-Merci Thierry.

@CC
J'avais pas vu ta réponse.
Oui après quelques lectures c'est clair (cela dépend de la journée effectuée au moment de la lecture du message :-D).
Mais sinon l'explication est nickel. (Des propos de Foys sur les mdts).

@Calli
Pour le reste j'attends l'impoli Calli (c'est ironique).
Non, ce n'est pas impoli, c'est moi même qui t'es impliqué sans que tu ne demandes rien dans ce message.
Et tu as sûrement d'autres choses à faire, c'est compréhensible :-D.

Remi S a écrit:

(le mot transitif est à bannir de notre vocabulaire)

C'est sûr que si vous partez sur ces bases un terrain d'entente va être difficile à trouver!

J'ai discuté avec Adrien, je voulais en faire un résumé mais il est tellement agréable à lire que je poste sa réponse pleine d'élégance.

---section OUI citable---
1. Je n'ai *rien* de mathématique à ajouter au message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1926158,2112092#msg-2112092
Remarque pédagogique : les sous-structures élémentaires n'étaient pas encore vues lors de la complétude de la logique élémentaire et de la «version faible» du paradoxe de Skolem. L'étudiant ne les connaissait pas encore.

2. À la critique de Foys http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1926158,2122458#msg-2122458 je n'aurais pas rétorqué mieux que Mattar http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1926158,2122476#msg-2122476 Je n'ai pas vu de «contre-critique» de cette réponse, et n'ajoute donc rien.
Le débat technique semble clos ; je ne modifierai *pas* le fond de mon polycopié. Et j'approuve ta synthèse --- notamment en ce qui concerne l'élucidation modèle-théorique des notions en jeu --- sauf sur un point : c'est vous qui m'avez fait honneur en me mentionnant.

3. La remarque de Maxtimax http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1926158,2122506#msg-2122506 sur différence de perception de dénombrabilité entre U_0 et son contracté de Mostowski est élégante. Belle idée que le «paradoxe» (i.e. la difficulté conceptuelle, ou cognitive) soit là. Remarque pédagogique : la contraction est propre à la théorie des ensembles ; à ce jour le cours n'a toujours pas abordé «la partie "théorie des ensembles"».

4. Foys en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1926158,2113088#msg-2113088 élude la moitié de la discussion à laquelle se livre mon polycopié.
Certes, avec *une* interprétation au lieu de deux, la discussion est plus concise --- et plus que d'un facteur 2. Or Poirot et Martial, puisqu'ils semblent enseigner, pourraient prendre ou laisser ma remarque sur l'impossible recours à une notion absolue de dénombrabilité, mais du moins y songer ; à moins que leurs étudiants n'aient définitivement statué sur le caractère conventionnel et fictif des objets mathématiques. Existe-t-il une réalité ensembliste ?
Et faut-il escamoter la question ? (v. phrase précédente)
-- Quant à la vision de ZF comme récit-cadre des mathématiques, elle est si grossière que je n'ai pas à commenter.

5. L'introduction de la sous-structure élémentaire a sur le forum étonné des esprits trop attachés à l'explication simple («pas les mêmes flèches»), soudain mise en défaut. Ladite explication est-elle donc si bonne ?

6. Commentaires historiques variés.
-- Il y a quelque anachronisme à attribuer à Skolem la version avec extension élémentaire.
-- Je n'ai jamais vraiment cerné les vues de Skolem sur l'infini mathématique ; sinon qu'elles étaient hétérodoxes.
-- Il serait intéressant de savoir quand la remarque de Skolem fut baptisée «paradoxe». Le mot convient car ce point a la vertu de choquer (et la version du polycopié a réussi au-delà de mes espérances). Selon moi le point de vue modèle-théorique dissipe souvent tout paradoxe. [<- Author's Message]

7. Enfin, je ne saurais rivaliser de clarté avec P. Dehornoy. La remarque assassine d'Axexe sur Cossery Albert est fort bien tournée ; à ma décharge les notes finales sont prévues pour une relecture, un an après, par des normaliens passionnés. Il est vrai qu'attirer l'attention sur les points épineux est le meilleur moyen d'intriguer voire dérouter ; mais je n'ai pas la cristalline austérité de Gauß ou Serre.

L'insomnie peut arriver... Habiter ailleurs également.

Je note ta première remarque qui est une insulte d'une violence extrême.

C'est sûrement pour cela que beaucoup de mathématiciens quittent ou ne viennent pas sur ce forum.

Quand aux trois semaines, c'était pour moi le temps que les étudiants aient le temps de digérer leur premier cours de logique.

Mes hommages au roi Foys.

Bonsoir,

Je vais essayer de répondre à ces quelques points et ce que je vais dire n'engage que moi.

axexe a écrit:

mais dans une guerre d'egos surdimentionnés dans les derniers messages.

Malheureusement l'ego est indissociable de la nature humaine et dans les activités intellectuelles élitistes (les maths et leurs prestigieux sous-chapitres que sont la logique formelle et la théorie des ensembles pour ne citer qu'eux), il est exacerbé d'une façon très particulière (surtout si la discipline prétend parler du coeur du raisonnement humain et peut facilement donner à son spécialiste le sentiment de pouvoir en finir avec son adversaire à coups de "monsieur vous ne savez pas penser donc c'est moi qui décide et vous, vous redescendez à votre place" au moins fortement suggérés sinon rendus explicites). Quelqu'un qui dit que l'ego n'est pas une composante importante de l'activité mathématique est à mon avis dans le déni, ou alors c'est un hypocrite ou un niais. L'attitude souvent débonnaire des mathématiciens est une façade. Le problème de l'ego se résout évidemment par la cordialité (mais voir plus bas).
Je ne me considère pas comme un roi ou quoi que ce soit de ce genre. Je ne suis pas non plus un spécialiste de la théorie des ensembles dont je ne connais que les définitions de base (mais je revendique la capacité à résoudre des exos formulés dans un langage que je peux comprendre), la plupart des intervenants réguliers du présent sous-forum y ont des compétences qui dépassent assez nettement les miennes, c'est probablement aussi le cas de mon détracteur. Cependant je ne suis pas non plus un paillasson: il en va du forum comme de la vie réelle, si on est gentil avec moi je suis gentil, si on ne l'est pas il faut s'attendre à tout.
Mon dernier message est une réponse à un individu qui s'est inscrit très récemment et qui s'est comporté de façon agressive et très condescendante, il arrive en conquérant et distribue des bons ou des mauvais points, dénigre la modération, cite son pote en argument d'autorité, je pense qu'en 25 messages son palmarès de trolling est tout à fait honorable mais en tout cas, comme il me cite, je réponds à ses messages avec un ton qui dépend de ce que la personne dit.

axexe a écrit:

Ce message pourra être supprimé par les pages de AD. (Foys écrirait le même message, il n'y aurait aucun prôblème).

Je ne vois pas vraiment en quoi ton message mériterait d'être effacé. Ni d'autres que j'ai écrits d'ailleurs...

@Foys

C'est clair et net comme d'habitude. Rien à redire. :-D
Moi je vis dans ce sous-forum dans ZF+DC+AD et dans le reste ZF me va très bien.
Ce qui m'inquiète, c'est que les thèses de théories des ensembles sont pas pour demain à ULM.

@AD

C'est pas la meilleure idée que j'ai eu de ma vie...
Mais comme j'avais donné des informations sur ma vie très personnelle (et je ne peux m'en prendre qu'à moi, on est pas sur psychologie.com), je passe pour un alcoolique alors que le problème est plus profond.

Et c'était le message à la fin que je voulais faire passer, que malgrès une malformation grave on peux s'en sortir et je me suis emporté.

Ce n'était pas le bon endroit pour parler de cela.

Enfin bref, c'était pas la fin du monde.
Merci de ne pas me remettre en "prison" .
Je vais retourner dans mon sous forum dédié AD et Ramsey (c'est ironique).
Et faire des groupes sérieusement.

@Univers

Vous pouvez passer ces deux messages...

@Martial

Laura a eu un poste! Champagne! C'est presque elle qui m'a fait découvrir (enfin commencer à l'aimer...) la théorie des ensembles! Ses mémoires et certains de ses exposés sont des pépites.

Oui tu as raison, je me focalise un peu trop sur Ulm qui n'est qu'un concours... et ne présage en rien des recherches futures (à part pour quelques mutants...mais il feraient la fac, cela reviendrait au même).
Il y a pas mal de thèses en théorie des ensembles en ce moment.

Il n'y a qu'à voir l'exemple de Julien Griveaux qui a le même parcours que nous deux (3ème concours Cachan) et qui fait partie des légendes de l'école doctorale de l'IMJ.
On peut aussi en faire partie pour de mauvaises raisons lol (même si j'avais deux directeurs de thèse et faisait ma thèse ailleurs).

Prépare quand même un stock d'orange au congelo lol.

Et je voulais quand même présenter mes excuses à Adrien (s'il nous lit), la comparaison à Cossery est un peu limite.