Espérance empirique
dans Statistiques
Bonjour,
Je suis tombé sur cette formule, je me dis que je la connais. Mais je ne vois plus comment la montrer. Du coup vous voyez comment faire ?
$$
\frac{1}{|A|} \sum_{a_{0} \in A, \ a \in A}\left\|a-a_{0}\right\|^{2} =2 \sum_{a \in A}\Big\|a-\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a\Big\|^{2} ,
$$ avec $A \subseteq \mathbb{R}^{d}$ un ensemble fini.
Je suis tombé sur cette formule, je me dis que je la connais. Mais je ne vois plus comment la montrer. Du coup vous voyez comment faire ?
$$
\frac{1}{|A|} \sum_{a_{0} \in A, \ a \in A}\left\|a-a_{0}\right\|^{2} =2 \sum_{a \in A}\Big\|a-\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a\Big\|^{2} ,
$$ avec $A \subseteq \mathbb{R}^{d}$ un ensemble fini.
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Réponses
$$\mathbb{E}(\|X-Y\|^2)=\mathbb{E}(\|X-m-(Y-m)\|^2)=\mathbb{E}(\|X-m\|^2+\mathbb(\|Y-m\|^2)
-2\mathbb{E}(\langle X-m,Y-m\rangle)=2\mathbb{E}(\|X-m\|^2.$$
$$
\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} = \mathbb{E}(x) .
$$ Du coup je pense qu'on calcule espérance de $x$ contre la mesure $\sum_{a \in A} { \delta_{a} \over |A| }$
On en déduit alors que
$$
2 \mathbb{E} \left[ \|x-\mathbb{E}(x) \|^{2} \right] = {2 \over |A | } \sum_{a \in A} \Big\|a - \frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a \Big\|^{2}.
$$ Maintenant faisons pareil de l'autre côté ah... je crois que je viens de comprendre l'autre côté l'espérance c'est pour le couple $(x,y)$ n'est-ce pas ? D'où la double somme et la simplification :)o
Autre question. Est-ce que cette formule là possède un nom une interprétation ? (la formule que P. a démontrée)