Un exemple de couple d'ensembles

topopot · December 2020

Auriez-vous un exemple (idéalement simple) de couple $(\Omega,\mathcal L)$ vérifiant les six conditions suivantes :

$\Omega$ est un ensemble ;
$\mathcal L\subset\mathcal P(\Omega)$ (l'ensemble des parties de $\Omega$) ;
$\Omega\in\mathcal L$ ;
$\mathcal L$ est stable par différence propre (i.e. $\forall (A,B)\in\mathcal L^2\quad A\subset B\implies B\setminus A\in\mathcal L$) ;
$\mathcal L$ est stable par réunion dénombrable (i.e. équipotent à une partie de $\N$) croissante ;
$\mathcal L$ n'est pas stable par intersection finie (i.e. $\exists n\in\N\quad\exists (A_1,\dots,A_n)\in\mathcal L^n\quad \cap_{i=1}^n A_i\notin\mathcal L$).

Merci par avance pour votre aide !

Foys · December 2020

Si $\mathcal A$ est une tribu sur $\Omega$ et $P,Q$ sont deux mesures de probas quelconques sur $(\Omega, \mathcal A)$ alors $\{B\in \mathcal A \mid P(B) = Q(B)\}$ vérifie les axiomes 1 à 5 ci-dessus (c'est ce fait qui rend utile le lemme de classe monotone).

On doit pouvoir construire un contre-exemple avec un ensemble fini (les mesures de proa s'identifiant à des fonctions de $\Omega$ dans $[0,+\infty[$ de somme totale égale à $1$).

Par exemple $\Omega = \{1,2,3,4\}$ et $P(i):=\frac 1 4 $ pour tout $i$, $Q(1)=Q(3) = \frac 1 3$, $Q(2) = Q(4)=\frac 1 6$ .

On a $Q(\{1,2\})=P(\{1,2\}) = Q(\{2,3\})=P(\{2,3\})= \frac 1 2$ mais $\{1,2\} \cap \{2,3\}= \{2\}$.

topopot · December 2020

Merci !

C'est en fait comme tu l'as deviné pour illustrer les différences entre les notions de tribus, $\pi$-systèmes et $\lambda$-systèmes qui sont toutes différentes. Il ne me manquait que ce contre-exemple ($\lambda$-système qui n'est pas un $\pi$-système) qui est plus difficile à trouver que les autres ($\pi$-système pas tribu, $\lambda$-système pas tribu et $\pi$-système pas $\lambda$-système). Sachant que tribu=($\lambda$-système et $\pi$-système) :-)

Un exemple de couple d'ensembles

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Bonjour!

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