Univers et grands cardinaux
Bonjour.
Le cadre ambiant est ZFC.
Soit $F\{x,y\}$ une formule où ses variables libres figurent parmi $x$ et $y$.
On dira que « $F$ est univoque $y$ » pour abréger « $(\forall x)(\forall y_1)(\forall y_2)\big( ( F\{x,y_1\} \;\mathrm{et}\; F\{x,y_2\}) \Rightarrow y_1=y_2 \big)$ ».
Et bien entendu, on note alors $F(x)$ l'unique $y$ tel que l'on ait $F\{x,y\}$.
On dira que $U$ est un univers s'il satisfait les trois propriétés suivantes :
(U1) $U$ est non vide ;
(U2) $U$ est transitif, c'est à dire si $x\in y$ et si $y\in U$ alors $x\in U$ ;
(U3) si $x\in U$ et $y\in U$, alors $\{x,y\}\in U$ ;
(U4) pour tout $I\in U$ et toute famille $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $U$, on a $\bigcup_{i\in I} x_i \in U$.
Soit $F\{x,y\}$ une formule univoque en $y$.
On dira que $U$ est un univers $F_y$-stable si c'est un univers tel que pour $x\in U$ on ait $F(x)\in U$.
Par exemple, si $G\{x,y\}$ désigne la formule $y=\mathfrak P(x)$ (ensemble des parties de x),
les univers $G_y$-stable (j'écrirai plutôt univers $\mathfrak P$-stable: c'est plus parlant) ne sont rien d'autre que les univers de Grothendieck.
D'après mes lectures, si j'ai bien compris, on a équivalence entre
« pour tout $A$, il existe un univers $\mathfrak P$-stable $U$ tel que $A\in U$ »
et « pour tout cardinal $\kappa$, il existe un cardinal fortement inaccessible $\lambda$ tel que $\lambda >\kappa$ ».
Notons ZFCU la théorie "ZFC + tous les énoncés de la forme « si $F$ est univoque en $y$, alors il existe un univers $F_y$-stable »".
Voici mes questions :
---> (Q1) Dispose-t-on d'un axiome « de grand cardinal » tel que "ZFC + cet axiome" soit une extension de ZFCU ? Et si oui, quel est le "plus petit" ?
---> (Q2) ZFCU est-elle consistante ou pas ?
Voici l'état de mes réflexions.
Soit $A$ quelconque.
En considérant $x \mapsto \big(A,\mathfrak P(x)\big)$, ZFCU prouve qu'il existe un univers de Grothendieck contenant $A$.
Dans ZFCU, on dispose donc d'un classe propre de cardinaux fortement inaccessibles.
En considérant $x \mapsto $ « le plus petit cardinal fortement inaccessibles supérieur au cardinal de $x$»,
on monte me semble-t-il encore dans la hiérarchie des grands cardinaux ... enfin cela commence à être vraiment flou pour moi à ce stade (je peine déjà pour les inaccessibles, manquant de temps pour étudier tout cela en profondeur). À la rigueur, je peux concevoir qu'on puisse aller vers les cardinaux Mahlo, voire au-delà (hyper Mahlo, etc.) mais après dans mes lectures on passe vers des d'autres types de cardinaux (mesurables, indescriptibles, faiblement compacts, etc.) dont les définitions sont pour moi difficiles et chronophages (je me vois mal passer plusieurs mois à chercher sur quel cardinal je dois concentrer mes efforts ; en bref, je suis aveugle).
Je sollicite donc votre aide, au moins pour savoir quel objectif "d'étude" je dois me fixer pour répondre (par des preuves) à mes questions (Q1) et (Q2).
Merci d'avance !
Le cadre ambiant est ZFC.
Soit $F\{x,y\}$ une formule où ses variables libres figurent parmi $x$ et $y$.
On dira que « $F$ est univoque $y$ » pour abréger « $(\forall x)(\forall y_1)(\forall y_2)\big( ( F\{x,y_1\} \;\mathrm{et}\; F\{x,y_2\}) \Rightarrow y_1=y_2 \big)$ ».
Et bien entendu, on note alors $F(x)$ l'unique $y$ tel que l'on ait $F\{x,y\}$.
On dira que $U$ est un univers s'il satisfait les trois propriétés suivantes :
(U1) $U$ est non vide ;
(U2) $U$ est transitif, c'est à dire si $x\in y$ et si $y\in U$ alors $x\in U$ ;
(U3) si $x\in U$ et $y\in U$, alors $\{x,y\}\in U$ ;
(U4) pour tout $I\in U$ et toute famille $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $U$, on a $\bigcup_{i\in I} x_i \in U$.
Soit $F\{x,y\}$ une formule univoque en $y$.
On dira que $U$ est un univers $F_y$-stable si c'est un univers tel que pour $x\in U$ on ait $F(x)\in U$.
Par exemple, si $G\{x,y\}$ désigne la formule $y=\mathfrak P(x)$ (ensemble des parties de x),
les univers $G_y$-stable (j'écrirai plutôt univers $\mathfrak P$-stable: c'est plus parlant) ne sont rien d'autre que les univers de Grothendieck.
D'après mes lectures, si j'ai bien compris, on a équivalence entre
« pour tout $A$, il existe un univers $\mathfrak P$-stable $U$ tel que $A\in U$ »
et « pour tout cardinal $\kappa$, il existe un cardinal fortement inaccessible $\lambda$ tel que $\lambda >\kappa$ ».
Notons ZFCU la théorie "ZFC + tous les énoncés de la forme « si $F$ est univoque en $y$, alors il existe un univers $F_y$-stable »".
Voici mes questions :
---> (Q1) Dispose-t-on d'un axiome « de grand cardinal » tel que "ZFC + cet axiome" soit une extension de ZFCU ? Et si oui, quel est le "plus petit" ?
---> (Q2) ZFCU est-elle consistante ou pas ?
Voici l'état de mes réflexions.
Soit $A$ quelconque.
En considérant $x \mapsto \big(A,\mathfrak P(x)\big)$, ZFCU prouve qu'il existe un univers de Grothendieck contenant $A$.
Dans ZFCU, on dispose donc d'un classe propre de cardinaux fortement inaccessibles.
En considérant $x \mapsto $ « le plus petit cardinal fortement inaccessibles supérieur au cardinal de $x$»,
on monte me semble-t-il encore dans la hiérarchie des grands cardinaux ... enfin cela commence à être vraiment flou pour moi à ce stade (je peine déjà pour les inaccessibles, manquant de temps pour étudier tout cela en profondeur). À la rigueur, je peux concevoir qu'on puisse aller vers les cardinaux Mahlo, voire au-delà (hyper Mahlo, etc.) mais après dans mes lectures on passe vers des d'autres types de cardinaux (mesurables, indescriptibles, faiblement compacts, etc.) dont les définitions sont pour moi difficiles et chronophages (je me vois mal passer plusieurs mois à chercher sur quel cardinal je dois concentrer mes efforts ; en bref, je suis aveugle).
Je sollicite donc votre aide, au moins pour savoir quel objectif "d'étude" je dois me fixer pour répondre (par des preuves) à mes questions (Q1) et (Q2).
Merci d'avance !
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Réponses
Après pour te dire le "plus petit" des "nommés" faudrait que je connaisse tous les intermédaires. Martial est le Roi de France pour ça, il a tout répertorié.
Ce n'est pas un axiome très fort, c'est juste "la marche" au dessus des inaccessibles en gros.
Quant à (Q2), oui, on se comprend ! Encore merci et bonne soirée !
Bonne soirée à tous
A la page 51 de son livre intitulé "Théorie des ensembles," J-L. Krivine affirme qu'il est impossible de montrer ceci : si ZFC est non-contradictoire, alors ZFC+"il existe un cardinal inaccessible" l'est également.
Je te laisse deviner ce qu'il en est pour (Q2).
Cordialement,
Thierry
Les univers $U$ qui vérifient tes 4 axiomes s'appellent les univers de Grothendieck, et ce que tu appelles ZFCU est connue sous le nom de ZFC + Axiome des univers de Grothendieck. Cet axiome dit : "tout ensemble est élément d'un univers de Grothendieck".
Comme tu le soulignes très justement, cet axiome est équivalent à l'existence d'une classe propre d'inaccessibles (c'est à peu près trivial), donc c'est ça l'axiome minimal dont tu parles. Et tout axiome de grand cardinal plus fort que celui-là est par définition une extension de ZFCU.
Si tu peux le plus petit, pas besoin de Mahlo, encore moins de faiblement compact. Le voici :
"Il existe un cardinal $1$-inaccessible", c'est-à-dire un inac qui est limite d'inacs. Si tu préfères, un inac $\kappa$ qui est le $\kappa$ième inac.
En effet, s'il existe un tel cardinal $\kappa$, alors $V_{\kappa}$ satisfait ZFC + "il existe une classe propre d'inacs". (Clair). Et dans l'autre sens c'est faux. Je ne connais pas la preuve mais en gros, s'il y a chez nous une classe propre d'inacs, on n'a aucun contrôle sur l'existence d'un sur-univers qui nous verrait comme un $V_{\kappa}$ avec $\kappa$ $1$-inac.
Pour Q2 c'est un peu plus délicat. Dans un premier temps ce qui est facile c'est de prouver qu'on ne peut pas prouver dans ZFC l'existence d'un inac.
Première méthode : Supposons le contraire. Alors tout modèle de ZFC possède un inac. Considérons, dans $V$, le plus petit inac, soit $\kappa$. Alors $V_{\kappa}$ satisfait ZFC + "il n'existe pas d'inacs", ce qui contredit l'hypothèse.
Deuxième méthode : supposons que $ZFC \vdash$ "il existe un inac".
Alors $ZFC \vdash \exists \kappa, V_{\kappa} \models ZFC$.
En particulier ZFC démontre l'existence d'un modèle de ZFC, donc ZFC démontre sa propre consistance, ce qui est interdit par le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel.
Bon, je prends mon ptit dej et je t'explique pourquoi Cons(ZFC),n'entraîne pas Cons(ZFC + il existe un inac).
Je note $CI$ l'axiome "il existe un inac" et $T$ la théorie "ZFC+Cons(ZFC)".
On veut prouver que $T \not \vdash$ Cons(ZFC + CI). Supposons le contraire. Par complétude, $T$ démontre aussi l'existence d'un modèle de ZFC + CI, disons $M$.
L'habitant de $L$ voit un inac $\kappa$, donc il voit aussi $V_{\kappa}$, qui est modèle de ZFC. Donc cet habitant est capable de démontrer Cons(ZFC).
En d'autres termes, $M \models$ ZFC+Cons(ZFC).
Mais nous, de l'extérieur, voyons $M$ comme un modèle de ZFC + Cons(ZFC).
Toujours par complétude (mais dans l'autre sens), c'est donc que $T \vdash$ Cons(ZFC + Cons(ZFC)), c'est-à-dire que $T \vdash Cons(T)$, contradiction.
Et il en est ainsi pour toutes les hypothèses de grande cardinalité. Par exemple, si tu notes $2CI$ l'axiome "il existe au moins 2 inacs", alors Cons(ZFC + CI) $\not \vdash$ Cons(ZFC + 2CI), etc.
Enfin, je ne vois pas ce que tu trouves de difficile dans la définition d'un cardinal mesurable. Même si elle est à peu près au milieu de la hiérarchie, elle est très facile à exprimer, à partir du moment où tu as compris ce que c'est qu'un ultrafiltre.
Si tu travailles un peu sur les clubs et les stationnaires de $\omega_1$, tu "sentiras en toi" monter la ligne directrice de ces intuitions d'existences des infinis.
Soit $k$ qui soit le $k$ ième inaccessible tel que pour tous inaccessibles $a,b$ dans $k$ avec $a<b$, tu aies $ImageDirecte(f)(a)\subset b$. Bon bin $k$ est stable et "comme tu désires".
Tu peux remplacer "inaccessible" par "bleu".
En fait ce qui me gêne, c'est que la théorie ZFCU est peut-être contradictoire (axiome trop fort).
On me dit que non : je suis rassuré.
Maintenant je cherche à savoir pourquoi.
@Martial et aux autres.
Soit ZFCG la théorie "ZFC + pout tout ensemble $A$, il existe un univers de Grothedieck $U$ tel que $A\in U$".
Soit ZFCU la théorie "ZFC + les énoncés de la forme « si $F$ est univoque en $y$, alors il existe un univers $F_y$-stable »".
Il est clair (pour moi) que tout théorème de ZFCG est un théorème de ZFCU. Je ne le remets pas en cause : c'est bon pour moi.
Par contre il n'est pas clair pour moi que tout théorème de ZFCU est un théorème de ZFC ; en fait il me semble que c'est faux mais j'ai l'impression qu'on me dit le contraire.
En fait, j'espère que la théorie ZFCU "s'insère" dans la hiérarchie des grands cardinaux pour que ce ne soit ni contradictoire ni exotique. D'ailleurs le "pour que" de ma dernière phrase est encore un voeu pieux : j'ignore si "en l'insérant" on obtient automatiquement quelque chose de non contradictoire. (Bien évidemment, dans tout ce que je dis, je suppose que ZFC est consistante.)
En revanche, j'ai maintenant un affreux doute sur le mot "consistant" que je prends généralement comme synonyme de non contradictoire ou cohérent. Là il y a des subtilités qui m'échappent.
@ Cc : non, tout cela ne m'évoque pas grand chose. Je me contenterai bien dans l'immédiat de l'hypothèse qui garantit l'existence des $k$ que tu considères.
En tout cas, encore merci à tous pour vos éclairages.
Edit : confusion entre ZFCG et ZFCU
Soit $F$ une formule univoque en $y$.
Il existe un univers $F_y$-stable $U_0$.
Par récurrence transfinie, on construit la suite $(U_{\alpha})$ ($\alpha$ cardinal)
telle que $U_{\alpha^+}$ est le plus petit univers « $F_y$-stable et stable par $x\mapsto$ cardinal de $x$ » vérifiant $U_{\alpha} \in U_{\alpha^+}$
et telle que $U_\lambda = \bigcup_{\alpha<\lambda} U_{\alpha}$ si $\lambda$ est un cardinal limite.
Soit $\kappa$ un cardinal $1$-inaccessible.
Il est clair que $U_\kappa$ est « $F_y$-stable et stable par $x\mapsto$ cardinal de $x$ ».
Maintenant est-ce un univers ?
C'est (U4) qui pose problème ... si $(x_i)$ est d'éléments de $U_\kappa$ indexés par $i\in I$ avec $I\in U_\kappa$,
alors soit $(\alpha_i)_{i\in I}$ la famille de cardinaux tels que $x_i\in U_{\alpha_i}$ ;
comme $I\in U_\kappa$ le cardinal de $I$ est $<\kappa$.
Comme $\kappa$ est $1$-inaccessible, la borne sup $\beta$ des $\alpha_i$ est $<\kappa$.
Donc $\bigcup_{i\in I}x_i\in U_\beta \subset U_\kappa$.
Moralité : Toute théorie de la forme "ZFC+axiome de grand cardinal garantissant l'existence d'un $1$-inacc" prouve tous les théorèmes de ZFCU (et donc de ZFCG).
Est-ce bon ?
Edit 1/2/3 :améliorations de la rédaction
Edit : ce qu'il y a barré, ZFCG ne prouvant pas l'existence d'un point fixe dans l'énumération des cardinaux inac.
Pour la notion d''univers de Grothendieck, c'est wikipédia.
Pour la théorie des ensembles, actuellement je consulte plutôt "Set Theory (an introduction to large cardinals)" de Francis Drake.
ou eBay : https://www.ebay.com/itm/Set-Theory-An-Introduction-To-Large-Cardinals-Frank-Drake-1974-Hardback-pt/133383680136?hash=item1f0e497088:g:17IAAOSwdXhekEL4 114,75€
@Tous : J'ai eu ce livre en main quand j'étais à l'ENS Cachan*, je l'avais emprunté à la bibliothèque.
Comme à l'époque je n'avais aucune base je n'y ai pas compris grand-chose.
Je crois que je l'ai réemprunté en 1990 quand je faisais mon DEA avec Saint-Raymond à Paris 6.
Idem.
Mais quand même, je crois savoir que l'ouvrage est un peu vieillot. En 1974 même les cardinaux supercompacts n'existaient pas**.
D'ailleurs, à ce sujet une question : quelle était, en 1974, la plus forte hypothèse de forte cardinalité ? Extensible ? Huge ? (Je crois savoir que I3, I2, I1 n'avaient pas encore été inventés, mais je peux me tromper).
Si quelqu'un sait, je suis intéressé...
*donc ça date pas d'hier, lol.
** sûr que si Christophe avait été un peu plus âgé à l'époque il les aurait inventés, lol.
(J'ai la flemme).
Bon, j'y crois pas beaucoup mais il est permis de rêver.