Bayésien "conjugate prior"

Soit $P=(P_{\theta}(dx);\ \theta\in \Theta)$ un modèle statistique sur $X$ et soit $(\pi(d\theta);\ \pi \in F)$ une famille $F$ de probas dites a priori sur $\Theta.$ La famille $F$ est dite conjuguée si en notant
$$
Q_{\pi}(dx)K_{\pi}(x,d\theta)=P_{\theta}(dx)\pi(d\theta)
$$ la probabilité a posteriori $K_{\pi}(x,d\theta)$ est aussi dans $F$ pour tout $\pi$ de $F$ et presque tout $x\in X$ (au sens de la probabilite $Q_{\pi}$). C'est super général puisque la famille de toutes les proba est conjuguée. Mais il y a un cas tres célèbre, celui où $P$ est une famille exponentielle sur $ \R^d$
$$
P_{\theta}(dx)=e^{\langle \theta,x\rangle -k(\theta)}\mu(dx),
$$ avec $\theta\in \Theta(\mu)$ = le plus grand ouvert convexe de $\R^d$ possible. On introduit la famille $F$ de Diaconis Ylvisaker
$$
\pi_{\alpha ,m}(d\theta)=C(\alpha,m)e^{\alpha\langle m,\theta\rangle-k(\theta)} 1_{\Theta(\mu)}(\theta)d\theta
$$ paramétrée par $\alpha>0$ et par $m$, qui decrit le domaine des moyennes $k'(\Theta)$ de $P.$ C’était tellement utilisé pour les familles exponentielles courantes (Binomiales, Gamma, Normale etc) que les statisticiens se sont habitués à appeler cette famille $F$ de proba a priori LA famille conjuguée. Donc si on parle de la famille conjuguee, il faut que le modele sont une famille exponentielle. La parametrisation de la famille $P$ peut varier dans la litterature, et cela modifie la presentation de la famille conjuguee. Ce serait un peu long de detailler les exemples classiques ici. Mais commence par Poisson ou $$\mu(dx)=\sum_{0}^{\infty}\frac{\delta_n(dx)}{n!}.$$

Moins rigoureusement dit que P., c'est quand la loi a priori et la loi a posteriori appartiennent à la même famille de lois. On parle de famille conjuguée. Un "conjugate prior" est une loi a priori qui appartient à la famille conjuguée en question.

Un exemple: pour le modèle binomial, la famille des lois Beta est conjuguée. C'est-à-dire que si la loi a priori est une Beta, alors la loi a posteriori est aussi une Beta.

Hello P,

Il y a la famille Gamma pour le modèle de Poisson.

Les autres je ne sais plus. Je pense qu'on peut trouver un catalogue des familles conjuguées sur le ouebbe.

Il y aussi les familles semi-conjuguées. Normale-Gamma pour les modèles linéaires gaussiens. Gamma-Beta' pour le modèle de deux lois de Poisson paramétrisé par un des deux taux et par le quotient des deux taux.

J'ai ouï dire qu'il n'existe pas de famille conjuguées pour les modèles non-exponentiels. Ce n'est pas vrai ?

Ton oui dire m'interesse. C'est pour cela que je te demandais un exemple non exponentiel, mais pas trivial.

Ah ben justement il donne des infos par ici (Xian = Christian Robert).