Espérance pour méthode des moments

sanji · November 2020

Bonjour,
Je peine à calculer l'espérance de cette densité : $f(x \mid \theta) = \theta x^{-2} \mathbb{1}_{([\theta ; +\infty[)}$.
Je trouve soit qu'elle tend vers l'infini ou soit des résultats non cohérents.
Merci pour l'aide.
PS : je demande seulement des conseils.
Cordialement.

aléa · November 2020

Elle est bizarre la notation, moi j'aurais écrit $f_\theta(x)$ enfin bon.

Pourquoi ça t'embête que l'espérance soit infinie (pas tendre vers l'infini) ? Ce sont des choses qui arrivent.

sanji · November 2020

Oui je suis d'accord avec toi pour la notation utilisée ici.
Ça m'embête que ce soit l'infini parce que j'essaye de trouver un estimateur en appliquant la méthode des moments. Or cela voudrait dire qu'avec cette méthode on ne peut pas trouver d'estimateur mais ma professeur veut qu'on soit capable de le faire.
Il doit y avoir un problème qui coince, je ne vois pas ce que c'est.

P. · November 2020

Et le moment de $X^{-1}?$

aléa · November 2020

Le minimum d'un $n$-échantillon me semble un très bon estimateur ici.

sanji · November 2020

Je trouve : $E( \frac{1}{X} ) = \frac{-1}{2 \theta} ,$ mais à ce que je sache $E( \frac{1}{X} ) \ne \frac{1}{E(X)}.$
Y aurait-il un résultat généralisé de la loi des grands nombres qui pourrait affirmer cela :
$E\big(g(x)\big) \xrightarrow[+ \infty]{} g( \overline{X})$ ?

[En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement les termes séparémént. ;-) AD]

P. · November 2020

L'esperance d'une va >0 serait negative? Soit $E_n=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{X_1}+\cdots+\frac{1}{X_n}\right).$ Que penses tu de $\hat{\theta}_n=\frac{1}{2E_n}?$

sanji · November 2020

C'est logiquement faux en effet
$\displaystyle \int_{\theta}^{+\infty} \theta x^{-3} \, \mathrm{d}x = \theta \left[ \frac{1}{2x^{2}} \right]_{\theta}^{+ \infty} \sim \frac{-1}{2 \theta}.$
Mais en écrivant c'est correct.

Sinon ce n'est pas plutôt : $\hat{\theta_{n}} =\frac{1}{2 E(E_{n})}$ ?

P. · November 2020

Comment etait ton examinateur, Toto? Tres pieux. Il disait 'Mon dieu, mon dieu...'

1) Corrige ton calcul.
2) Un estimateur de $ \theta $ n'est pas un nombre, mais une variable aleatoire dont la valeur est prise comme approximation de $\theta.$