Caractérisation des ordinaux limites
Bonjour,
comment démontre-t-on l'équivalence :
1) $\alpha$ est un ordinal limite
2) il existe un ordinal $\beta$ non nul tel que $\alpha=\omega.\beta$ ?
J'imagine qu'il faut procéder (au moins dans un sens) par récurrence sur $\beta$ en distinguant ordinal limite et ordinal successeur, mais je n'en suis pas certain.
Existe-t-il un corrigé des exercices posés dans le livre de P. Dehornoy ?
comment démontre-t-on l'équivalence :
1) $\alpha$ est un ordinal limite
2) il existe un ordinal $\beta$ non nul tel que $\alpha=\omega.\beta$ ?
J'imagine qu'il faut procéder (au moins dans un sens) par récurrence sur $\beta$ en distinguant ordinal limite et ordinal successeur, mais je n'en suis pas certain.
Existe-t-il un corrigé des exercices posés dans le livre de P. Dehornoy ?
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Réponses
On utilise la division euclidienne pour les ordinaux: il existe $\beta, \gamma$ tel que $\alpha=\omega . \beta+ \gamma$ avec $\gamma < \omega$. Si $\gamma$ est successeur (de $\delta$), alors $\alpha$ est successeur de $\omega. \beta+ \delta$, donc, si $\alpha$ est limite, alors $\gamma$ n'est pas successeur. Comme $\gamma < \omega$, $\gamma$ est donc $0$. Donc $\gamma= \omega . \beta$.
Théorème: pour tout ordinal $\gamma$ non nul, et pour tout $\alpha$, il existe un unique couple $(\beta,\delta)$ avec $\delta <\gamma$ tel que $\alpha = \gamma \cdot \beta + \delta$
Preuve : Le plus petit $\mu$ tel que $\gamma \mu > \alpha$ existe, et est un successeur (pourquoi ?), on l'écrit alors $\mu = \beta +1$ et on vérifie que l'unique $\delta$ tel que $\gamma\beta + \delta = \alpha$ est bien $<\gamma$.
Pour l'unicité, on vérifie que le $\beta$ est nécessairement celui que j'ai indiqué plus haut, et on en déduit que le $\delta$ aussi.
Application: prendre $\gamma = \omega$, et remarquer que $\mu + n$ est limite si et seulement si $n=0$ (pour $n<\omega$)
Avant de continuer de façon abstraite ton parcours, je t'invite à poser sur le forum un "didacticiel" de ton cru avec des IMAGES, des DESSINS que tu auras faits pour le "plaisir" d'illustrer la notion d'ordinal. Dans le cas présent, par exemple, ça t'aurait rendu les choses évidentes.