Mesurable vs inaccessible
Bonjour à tous
Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans la démo ci-dessous (récupérée dans un vieux cours manuscrit) du fait que tout mesurable est inaccessible. Pour régulier, ça va.
$\to$ $\kappa$ est fortement limite : supposons qu'il existe un cardinal $\kappa' < \kappa$ tel que $2^{\kappa'} \geq \kappa$. On a donc $\kappa \subseteq 2^{\kappa'}$. Soit $U$ un ultrafiltre $\kappa$-complet non principal sur $\kappa$. Pour tout $\xi \in \kappa'$, on considère les ensembles
$$B_{\xi} = \{A \subseteq \kappa' : \xi \in A\} \cap \kappa \text{ et } C_{\xi} = \{A \subseteq \kappa' : \xi \notin A\} \cap \kappa.$$
Comme $U$ est un ultrafiltre, l'un de ces deux ensembles est dans $U$. Posons
$A_0 = \{\xi \in \kappa' : B_{\xi} \in U\}$. On définit alors une suite $(X_{\xi})_{\xi < \kappa'}$ de la façon suivante :
$\to$ Si $\xi \in A_0, X_{\xi} = B_{\xi}$.
$\to$ Sinon, $X_{\xi} = C_{\xi}$.
Il est clair que $\forall \xi < \kappa', X_{\xi} \in U$. Comme $\kappa' < \kappa$, on a aussi $\bigcap \limits_{\xi < \kappa'} X_{\xi} \in U$, soit $\{A_0\} \in U$, ce qui contredit le caractère non principal de $U$.
Ce que je ne comprends pas c'est juste la fin : pourquoi $\bigcap \limits_{\xi < \kappa'} X_{\xi} = \{A_0\} $ ?
Merci d'avance
Martial
Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans la démo ci-dessous (récupérée dans un vieux cours manuscrit) du fait que tout mesurable est inaccessible. Pour régulier, ça va.
$\to$ $\kappa$ est fortement limite : supposons qu'il existe un cardinal $\kappa' < \kappa$ tel que $2^{\kappa'} \geq \kappa$. On a donc $\kappa \subseteq 2^{\kappa'}$. Soit $U$ un ultrafiltre $\kappa$-complet non principal sur $\kappa$. Pour tout $\xi \in \kappa'$, on considère les ensembles
$$B_{\xi} = \{A \subseteq \kappa' : \xi \in A\} \cap \kappa \text{ et } C_{\xi} = \{A \subseteq \kappa' : \xi \notin A\} \cap \kappa.$$
Comme $U$ est un ultrafiltre, l'un de ces deux ensembles est dans $U$. Posons
$A_0 = \{\xi \in \kappa' : B_{\xi} \in U\}$. On définit alors une suite $(X_{\xi})_{\xi < \kappa'}$ de la façon suivante :
$\to$ Si $\xi \in A_0, X_{\xi} = B_{\xi}$.
$\to$ Sinon, $X_{\xi} = C_{\xi}$.
Il est clair que $\forall \xi < \kappa', X_{\xi} \in U$. Comme $\kappa' < \kappa$, on a aussi $\bigcap \limits_{\xi < \kappa'} X_{\xi} \in U$, soit $\{A_0\} \in U$, ce qui contredit le caractère non principal de $U$.
Ce que je ne comprends pas c'est juste la fin : pourquoi $\bigcap \limits_{\xi < \kappa'} X_{\xi} = \{A_0\} $ ?
Merci d'avance
Martial
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Réponses
Dans ce cas, $\xi\in A$ se traduit par $A(\xi)=1$ donc $B_\xi$ c'est les suites binaires qui sont dans $\kappa$ et qui valent $1$ en $\xi$
Donc $X_\xi$ c'est un ensemble de suites binaires - une suite binaire va être dans leur intersection si, en tout $\xi$, elle est d'accord avec la majorité (selon $U$)
Mais ça ça la détermine complètement : en un $\xi$ fixé, elle n'a qu'une seule option, être de l'avis de la $U$-majorité. Donc l'intersection est un singleton.
Maintenant tu regardes : cette suite binaire, en $\xi$, vaut $1$ si et seulement si c'est l'avis de la $U$-majorité, i.e. si et seulement si $\xi\in A_0$ : donc c'est bien le singleton $A_0$ (mais bon on s'en.fiche un peu, c'est l'aspect singleton qui compte)
Il faut encore que j'y réfléchisse mais je crois que je vais comprendre.
C'est effectivement une très bonne idée de tout voir en termes de suite binaire : dans ma tête on identifiait $\mathscr P(\kappa')$ avec $2^{\kappa'}$ vu comme un cardinal, ce qui complique les choses.
Soit $E$ un ensemble et $W$ un ultrafiltre sur $E$. Alors le plus petit cardinal $c$ tel qu'il existe une famille $i\in c\mapsto A_i\in W$ tel que $\cap_i A_i\notin W$ est mesurable. (Je mets $\omega$ dans les mesurables, c'est le plus petit d'entre eux).
C'est peut-être plus intéressant de le dire comme ça, à savoir de regarder "la vie des ultrafiltres" et de papoter de leurs additivités. La propriété de ces additivités (par définition, donc, vu ce que je viens de dire) d'être exactement "les mesurables" étant collatéral psychologiquement.
Le théorème que tu évoques dans ton premier post est juste que ces additivités sont des inaccessibles. Mais tu le vois mieux (psychologiquement) en notant que c'est dû à la présence de "plus petit c tel que" (qui rend "évidente" l'inaccessiblité) une fois remarqué que pour out ultrafiltre $W$ et tout $a$, s'il n'est pas stable par les intersections de $2^a$ de ses éléments, il ne l'est pas non plus par les intersections de $a$ de ses éléments
Les traductions techniques de ces "truismes" sont toujours assez hiéroglyphiques en TDE, d'où mon présent post, invitant à "papoter en français avachi autour de ces notions "quasi-numériques" en ce sens que "les cardinaux"généralisent les nombres".
Je suis d'accord qu'avec ça, ça rend la preuve tout à fait naturelle et ça coule tout seul (je me souviens qu'à l'époque où je réfléchissais à AD, j'avais trouvé ce truc sur la mesurabiltè du petit $c$ et ça m'avait rendu heureux :-D la régularité en découle automatiquement, et tu as l'air de dire que le caractère fortement limite aussi ?)
Je réponds de mon téléphone donc même si le preuve du truc demande est courte ça va très très salé pardon.
Je le fais en ANS. Si f(x) est une partie non standard de E, alors en notant A son standardisé ie l'ensemble std ayant les mêmes éléments STANDARDS que f(x) , g(x) qui est un élément pour qui les appartenances à f(x) et à A différent est forcément, donc, non standard.
Je te laisse l'écrire classiquement.
Soit $f: E\to F$ et $W$ ultrafiltre sur $E$. Alors je note $f[W]$ l'ensemble (qui est un ultrafiltre sur $F$) des $X$ tels que pour $W$-presque $x\in E: f(x)\in X$.
Il suit que l'additivité d'un ultrafiltre $W$ sur un ensemble $E$ est le plus petit cardinal $k$ tel qu'il existe $f: E\to k$ tel que $f[W]$ n'est pas principal. (l'additivité de $W$ est "totale" si $W$ est lui-même principal car alors toutes ses $g[W]$ le sont)
Soit $W$ un ultrafiltre et $k$ son additivité. Ce que vous demandiez Martial et toi est une "purification" des preuves que pour tout $a$, si $a<k$ alors $P(a)<k$.
Ma réponse ANS traduite est que si $f[W]$ (avec $f$ supposé $E\to P(a)$) n'est pas principal, alors, en notant $A:=\{x\mid f[W]$-presque tout $z: x\in z \}$, et $g(x) \in $ différence symétrique de $f(x)$ et $A$ pour tout $x\neq A$, tu as que $g:E\to a$ est tel que $g[W]$ n'est pas principal.
Ce que je retiens de tout ça c'est que pour comprendre ces choses-là, le mieux est d'en papoter en français avec deux trois potes en buvant une bonne bière.
@Monsieur le Président de la République : SVP, rouvrez les bistrots, bordel !!!
Soit W un ultrafiltre non principal sur A^B
Prouve que son additivite est majorée par max(A,B)
De mon téléphone