Définition de "small forcing"

De manière générale, on a des propriétés $R(x)$ qui sont telles que si $R(k)$ et $card(P)<k$ alors $V^P\models R(k)$. C'est tout.

En fait, c'est "mal dit" d'avoir l'adjectif "small" sans paramètre. C'est plutôt "pluss small que".

J'ai même proposé il y a très très très longtemps :-D qu'on appelle propriété de grand cardinal toute propriété $R(x)$ qui vérifie ça, dans la mesure où j'ai rarement vu des propriétés "autres" que des axiomes de grands cardinaux les vérifier.

J'ai vu beaucoup de textes évoquant le Woodin's "fast function forcing" dans le forum américain, mais si je dois l'écrire en Latex, demain j'y suis encore.
La définition est à la page 4 de ce document.

Source : Small Forcing Creates Neither Strong Nor Woodin Cardinals (JSTOR)

@Martial: pardon pour le retard et la réponse est oui. Et ça vaut pour toute notion usuelle de grand cardinal, pas seulement weakly compact

@Martial

C'est juste pour le diffencier de son forcing par produit dans $V$ à support Easton.

Le reverse blabla est juste un forcing itéré à support Easton (Non mis au point pas Easton...).

Bienvenue en Frangleterre...

En très gros et résumé, la situation est très simple: tu pars d'un univers $V$ tel que $V\models ZFC$ et tu t'intéresses à $W$ tel que $V\subset W$ que tu as EVENTUELLEMENT obtenu par forcing ou autrement.

ou bien : $W$ n'est pas un modèle de ZFC

ou bien $W$ en est un mais n'a pas été obtenu par forcging

ou bien $W$ il l'a été, mais avec un poset $P$ qui n'est pas dans $V$

ou bien "all is as in 1963" :-D

Comme c'est un outil souple, un peu à la manière d'une ancienne pub (je ne me rappelle plus laquelle où on voyait une main contracter une bouteille à certains endroits), tu peux "forcer" tout au long d ela colonne vertébrale (les ordinaux) de façon suffisamment espacé pour que la réunion soit un modèle de ZFC (Easton par exemple).

Idem pour forcer HGC et tout un tas de trucs

En fait le seul truc qu'il faut surveiller c'est que les différentes actions ne se "marchent pas dessus" et ne finissent pas de prolonger jusqu'à la fin des collapse au dénombrable (par exemple) de tous les ordinaux, ou ensembles, etc.

Voilà l'histoire. Après, hélas, j'imagine que c'est comme comme on apprend le japonais : la mise en "exposé mathématique" de tout ça multiplie la longueur du récit par 100 :-D (pas par 10!)

Je crois qu'il y a des problèmes ouverts "espiègles" à ce propos, comme le suivant (tout est supposé bien fondé, on ne s'occupe pas du reste):

soit $V$ un modèle de ZFC, $W$ un surmodèle, qui le plus petit à contenir un certain réel pas dans $V$. Alors est-ce que ou bien forcément $W$ est une extension généraique de $V$ ou est-ce que $[(0^\#)$ calculé dans $V ]\in W$

Bonjour Martial

Y compris le livre de P. Dehornoy ?

Pour en revenir au small forcing :-P, je cherchais oû j'avais vu cette chose dans un livre "normal", c'est au début du chapitre 21 du Kunen dernière édition; qui lui parle de "mild" (le mot est approprié...) forcing extention.

Pour la définition du forcing dans le Dehornoy, il a sûrement voulu étoffer son polycopié de cours chapitre forcing ; (qui n'a jamais été sur son site), mais qu'on trouve sur internet ; mais autant le poly était limpide, autant le livre, je ne comprends pas l'enchainement des notions. Bref, pas grave, il y a le Leroy aujourd'hui.

Pour le $0^{\#}$, il vaut mieux repartir vers la théorie des modèles pure et repasser à la théorie des ensembles ensuite que l'inverse...(pour une fois).
Là d'un seul coup, on est censé avoir lu le chapitre 5 du Lascar avant.

Mais bon, le reste est quand même pas mal B-).

Pour le concept de "small forcing", ceci ne convient-il pas pour une première approche ?

Je suis d'accord que le nom est mal choisi, mais $\kappa$-small ne marche pas non plus: "Un forcing $\kappa$-small préserve les cardinaux bidule" : qui est $\kappa$ ? ça te forcerait à donner des noms à des cardinaux que tu n'as pas forcément envie de nommer.

Cf. ceci.