Somme des rangs moyens

Yendre · October 2020

Bonjour chers tous
Je cherche à montrer que $\sum^{q}_{i=1}\boldsymbol r^{\star}(i)=q(q+1)/2.$ dans le probème suivant :
soit $\boldsymbol r=\{\boldsymbol r(j)\}_{j=1,2,\cdots,q}$ un classement avec exaequo de $q$ objets. On définit le rang moyen associé à l'objet $i$ par
\[
\boldsymbol r^{\star}(i)=\frac{\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(\boldsymbol r(i))+1}{2}+\sum_{j=1}^{\boldsymbol r(i)-1}\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(j),\qquad\forall i\in \{1,\cdots,q\},

\] où $\lambda_{\boldsymbol r}(j)$ désigne l'effectif du rang $j$ dans le classement $r$.
Si quelqu'un a bien une idée. Merci d'avance.

gerard0 · October 2020

Bonsoir.

Tu es sûr de ta formule ? Ce ne serait pas plutôt :
$$\boldsymbol r^{\star}(i)=\frac{\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(\lambda_{\boldsymbol r}+1)}{2}+\sum_{j=1}^{\boldsymbol r(i)-1}\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(j),\quad,\forall i\in \{1,\cdots,q\}\qquad ?

$$ Si tes valeurs sont classées par ordre croissant (*), ça revient à attribuer à une séquence d’ex-æquo la moyenne entre les termes extrêmes, qui est justement la moyenne des rangs qu'ils auraient eu si on les avait classés entre eux :
dans 1 2 2 2 5, on remplace 2,2,2 par 3,3,3, car la moyenne de 2,3,4 est justement $3 = \frac{2+4}2$.
Voir aussi la formule sur la somme d'éléments d'une suite géométrique.

En montrant que si un individu n'est pas ex-æquo son rang n'est pas changé, on achève la preuve.

Cordialement.

(*) ça change la numérotation des individus, mais pas la somme de leurs rangs, ni de leurs rangs moyens.

Yendre · October 2020

Merci Gerard0 pour votre réponse.

Cependant, la formule que j'ai donnée est correcte et on ne peut pas avoir $\boldsymbol r=(1,2,2,2,5)$ mais $\boldsymbol r=(1,2,2,2,3)$.

Je continue toujours de chercher.
Merci

talbon · October 2020

Bonsoir,

C'est vrai que ta formule est juste, mais Gerard0 t'a néanmoins donné la clé.
[-] Combien vaut la somme des entiers de $1$ à $k$ ?
[-] Supposons que tu n'aies aucun ex æquo. La formule est-elle vérifiée ?
[-] Supposons que tu aies $k$ premiers ex æquo. Quel rang commun faut-il leur attribuer pour que la somme de ces rangs soit égale a $1+\cdots + k$ ?
[-] À quoi sert le terme $\sum_{j< r(i)} \lambda_r(j)$ dans la formule ?

Remplace par des valeurs concrètes si tu bloques. Avec tout ça tu dois pouvoir montrer le résultat.

PS. +1 pour $1, 2, 2, 2, 5$ :-D Cette formule marche aussi bien avec $1, 2, 2, 2, 3$ ceci dit...

gerard0 · October 2020

Euh... Yandre, quand il y a 3 deuxièmes, le suivant est cinquième.

Mais s'il ne s'agit pas de rangs (comme dans les tests de rangs), alors je ne sais pas de quoi on parle.

Talbon : cette somme permet de compter les précédents et de ne pas repartir à 1. Pour le cinquième de mon exemple, elle vaut 4 (pour ma formule, évidemment). Les $\lambda_r(j)$ étant les effectifs de ceux qui ont un rang inférieur.
En fait non, puisque dans mon exemple, ça devrait donner 1+3+3+3 = 10 puisque $\lambda_r(2)=3$ et idem pour 3 et 4 ??
En fait, il y a sans doute un problème supplémentaire d'indiçage : S'il y a q valeurs, et des ex-æquo, le nombre de classes de valeurs différentes est inférieur à q.

Je suis de plus en plus dubitatif, et sur la formule, et sur les notations. Alors qu'il est quasi évident que, une fois les ex-æquo renotés à la moyenne des rangs qu'ils occupent, la somme des rangs redevient $1+2+..+q = \frac{q(q+1)}2$

Cordialement.

talbon · November 2020

Soit je me trompe :-D, soit il y a confusion du fait des notations. Tandis que $i$ est un indice unique associé à un participant ($1\leq i\leq q$), $j$ est un rang.

$1,2,2,2,5,5,7 \longrightarrow 1,1+\frac{4}{2},1+\frac{4}{2},1+\frac{4}{2},(1+3)+\frac{3}{2},(1+3)+\frac{3}{2},(1+3+2)+1 \longrightarrow 1, 3, 3, 3, 5.5, 5.5, 7$. (Dans cet exemple $\lambda_r(3)=\lambda_r(4)=\lambda_r(6)=0$.)

(Enfin, pour le moment on a perdu Yendre.)
Bien cordialement.

Somme des rangs moyens

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