Propriété d'extension

Bonjour,

Si $\mathfrak{A}$ est une structure transitive, alors $\mathfrak{A}$ satisfait l'axiome d'extensionnalité et l'axiome de fondation.

Titi

Bonjour Martial

Attention, mon intervention ne consistait pas à donner un coup de pouce à ceci. Lire ceci.

Amicalement,

Thierry

Martial : oui je me doutais que $\kappa$ était inaccessible, mais je pense que la preuve vient après le fait que $\kappa \in X$ (c'est pour ça que j'ai écrit "si on suppose au préalable"). Si tu sais que $\kappa \in X$, alors ça devrait être faisable:

Soit $\alpha \in \mu$ et $z\in X$ tel que $(\alpha,z) \in S$. Alors, $F(\alpha) < \kappa$ donc il existe $\lambda$ tel que $F(\alpha) < \lambda$. Je fixe ce $\lambda$ (important). Alors $V_\kappa \models \exists z < \lambda, (\alpha, z)\in F$. Donc $X\models \exists z < \lambda, (\alpha,z)\in S$.

Sauf que $\lambda < \kappa$, et donc $X\models \exists z < \kappa, (\alpha, z)\in S$. En particulier $X\models \forall \alpha < \mu, \exists z < \kappa, (\alpha,z)\in S$, et donc finalement $X\models S[\mu]\subset V_\kappa$ (puisque $V_\kappa \in X$)

Je suis un peu perplexe mais je crois que ça marche, tu me diras ce que tu en penses. J'utilise à foison le fait que c'est bien $(X,\in)$ le modèle, donc que $X$ sait vraiment qui appartient à quoi.

Pour le 2), je ne vois pas pourquoi on aurait $=$. Je n'ai pas d'idée pour la suite, et j'ai des trucs à faire cet aprem donc je reviens vers toi plus tard ;-)

Juste, une petite correction : plutôt écrire $\mu\times \kappa $ que $V_\kappa$, ce dernier je ne sais pas si on peut affirmer qu'il appartient à $X$ (il y a certainement un objet dont $X$ croit qu'il s'agit de $V_\kappa$, mais de là à dire que c'est $V_\kappa$... )

Je crois que j'ai 2: notre fonction surjective $g: V_{\nu +1}\to \kappa$ nous donne un $(X,S)$ comme on l'imagine, avec $S$ jouant le rôle de $g$.

Mézalors me diras-tu $X$ croit que $S$ atteint tous les ordinaux (bah oui, c'est le cas de $g$, n'est-ce pas ?) mais en même temps $X$ croit que $S$ est à valeurs dans $\kappa$ (même astuce que plus haut : soit $x\in V_{\nu+1}$, alors il existe $\lambda < \kappa$ tel que $V_\kappa\models \exists z\in \lambda, (x,z)\in g$. Alors $X\models \exists z \in \lambda, (x,z) \in S$, donc $X\models \exists z <\kappa, (x,z) \in S$, ceci indépendamment de $x$, et donc $X\models \forall x \in V_{\nu+1}, \exists z\in \kappa, (x,z)\in S$)

Ceci est évidemment contradictoire.

En fait, une fois qu'on a que $\kappa \in X$, l'idée est toujours la même j'ai l'impression : on peut déduire des choses sur $\kappa$ dans $X$ grâce à des choses dans $V_\kappa$, alors même que ce dernier ne sait pas parler de $\kappa$. Ainsi, tout sous-ensemble $R$ de $V_\kappa$ qui "voit tout $\kappa$" nous met dans le cambouis.

J'ai eu l'impression l'instant d'une seconde que ça prouvait que $\kappa$ ne pouvait pas exister (en prenant par exemple $R=\kappa$ ou $V_\kappa$), mais en fait je me suis rendu compte qu'il ne suffit pas que $R$ voie tout $\kappa$, il faut aussi qu'il soit "borné" (d'une manière ou d'une autre) par un élément de $V_\kappa$. En effet, essayons le raisonnement plus haut avec $R= V_\kappa$. Je prends un ordinal $x$ de $X$ et j'ai envie de montrer qu'il est $<\kappa$ pour obtenir une contradiction. Mais arg problème je ne peux pas relier mon $x$ à un bonhomme de $V_\kappa$ parce que je n'ai pas ma bornitude (je n'ai pas mon $V_{\nu +1}$ ou mon $\mu$ de plus tôt !). Donc a priori ça va.

Je mentionne juste ça pour que tu ne fasses pas la même bêtise de tête que moi :-D
Mais je pense que du coup ça va être le thème des preuves qui vont suivre concernant $\kappa$: si $\kappa$ est petit, on peut le "mesurer" par un élément de $V_\kappa$ (pas du tout au sens de "mesurable" hein, plus au sens de "témoin" -il y a un "témoin de petitesse" dans $V_\kappa$), et ça ça va être absurde parce qu'en regardant cet élément dans $X$, il va à la fois "atteindre tout le monde" et être borné par $\kappa$ : absurde. C'est en tout cas cette idée qui régit à la fois l'inaccessibilité et la forte limititude (nouveau mot).

Ce qui me surprend du coup c'est que ce coup du "$\kappa \in X$ " m'a l'air fondamental (c'est lui qui dit tout finalement) et mérite qu'on s'y attarde. En particulier si c'est moi qui écrivais ce bouquin (et pas Kanamori) j'en écrirais une preuve bien détaillée, même s'il la considère comme trivial.
Bon, après je ne sais pas à qui s'adresse ce bouquin, mais quand même, ce fait a l'air assez important pour lui accorder "trop" d'attention.

Ce qui est écrit : "Note that since $X \neq V_{\kappa}$ is to be transitive, $\kappa \in X$."

Analyse linguistique : l’opérateur be est le signal d’une relation d’identité. Au lieu d’être logée dans le sujet comme dans le cas de l'opérateur have, la propriété énoncée à propos du sujet est posée par l’énonciateur au moment de l'énonciation : ici c’est d’une relation de type parce que et non puisque qu’il s’agit.

Conclusion : parce que l'énoncé l'impose, voici une traduction possible dudit énoncé : "Noter que l'on a $\kappa \in X$, puisque l'on impose que $X \neq V_{\kappa}$ soit transitif." Il semble donc que la démonstration de ce fait (claim) doit se faire préalablement à ce qui suit.

Martial : par récurrence , $|\alpha| \leq |V_\alpha|$ pour tout $\alpha$ ;-)

Martial: qui dit sous-modèle élémentaire dit sous-ensemble. Si $X$ n'est pas $V_a$ et si $V_a$ est inclus dans $X$ ... :-D

Bon, j'ai l'impression que tu croyais que l'espèce de signe "inférieur tordu" exprime "plongement élémentaire", mais à ma connaissance non, précisément il exprime que le plongement est l'identité. Ca serait un peu compliqué :-D si tu avais des éléments de $V_a$ pas dans $X$ d'exprimer ce qu'il leur arrive "fictionnellement" dans $X$, non?

Enfin, je vois les choses comme ça, mais comme Max (futur Médaille Field) en a posté long, prenez le temps de vérifier que je ne me trompe pas.

@CC : je te remercie beaucoup. Je vais essayer de décoder.

@Martial : à la page vi dudit ouvrage, l'on trouve ce qui suit où il s'agit bien de plongement (i.e. embedding) au moyen d'un monomorphisme structurel permettant d'identifier canoniquement la structure que l'on plonge avec son image :

Concernant notre fameux $\kappa\in{}X$, voici ce que je viens juste de recevoir comme réponse simple de la part de l'auteur :

"Every set has a rank'' holds by extension in $X$; so take some $x\in{}X-V_{\kappa}$. Then $x$ has a rank $\delta_x\geqslant\kappa$. This $\delta_x$ is a member of $X$, and so by transitivity so is $\kappa$.

Je pense avoir vu cette notion de rang associé à tout ensemble dans ZFC. Mais où ?

C'est bon, je viens de trouver une réponse. Tout est Ok pour moi et c'est simple.

@Max : contrairement à ce que précise l'auteur à la page vi, en la circonstance, il précise également dans la remarque du théorème que l'on a affaire à une extension élémentaire [de structures]. Je peux te faire une copie, si tu le veux.