Cardinaux Mahlo
Bonjour à tous,
J'ai du mal à comprendre une preuve dans l'article de wikipedia sur les cardinaux Mahlo :
https://en.wikipedia.org/wiki/Mahlo_cardinal
J'en suis au paragraphe "Example : showing that Mahlo cardinals $\kappa$ are $\kappa$-inaccessible".
Mon problème c'est la parenthèse, ligne 3 : depuis "imagine rotating through $\beta$-inaccessibles" jusqu'à "less than $\kappa$ by regularity".
Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne... Merci d'avance.
P.S. : comme la terminologie n'est pas la même d'un ouvrage à l'autre, je précise :
1) $\kappa$ est $1$-inac s'il est inac et limite d'inacs. En d'autres termes, il est la kappa-ième cardinal inac, i.e. un point fixe de l'énumération des inacs.
2) $\kappa$ est $\alpha$-inac s'il est inac et si, pour tout $\beta < \alpha$, $\kappa$ est limite de $\beta$-inacs.
3) $\kappa$ est hyperinac s'il est $\kappa$-inac.
J'ai du mal à comprendre une preuve dans l'article de wikipedia sur les cardinaux Mahlo :
https://en.wikipedia.org/wiki/Mahlo_cardinal
J'en suis au paragraphe "Example : showing that Mahlo cardinals $\kappa$ are $\kappa$-inaccessible".
Mon problème c'est la parenthèse, ligne 3 : depuis "imagine rotating through $\beta$-inaccessibles" jusqu'à "less than $\kappa$ by regularity".
Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne... Merci d'avance.
P.S. : comme la terminologie n'est pas la même d'un ouvrage à l'autre, je précise :
1) $\kappa$ est $1$-inac s'il est inac et limite d'inacs. En d'autres termes, il est la kappa-ième cardinal inac, i.e. un point fixe de l'énumération des inacs.
2) $\kappa$ est $\alpha$-inac s'il est inac et si, pour tout $\beta < \alpha$, $\kappa$ est limite de $\beta$-inacs.
3) $\kappa$ est hyperinac s'il est $\kappa$-inac.
Réponses
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Si je comprends bien, l'idée est la suivante:
On suppose $\kappa$ $\alpha$-inaccessible. En particulier, pour tout $\beta<\alpha$, $\kappa$ est limite de $\beta$-inaccessibles. Je regarde l'ensemble des gens en dessous de $\kappa$ qui sont, pour tout $\beta<\alpha$, limites de $\beta$-inaccessibles, i.e. $S= \{ x <\kappa\mid \forall \beta <\alpha, x$ est limite de $\beta$-inaccessibles $\}$.
L'énoncé est qu'il est unbounded. Je pars de $x<\kappa$, je prends un $1$-inaccessible au-dessus de $x$ ($<\kappa$), puis un $2$-inaccessible, etc. J'obtiens une certaine limite $x_1$. Je recommence, mais au-dessus de $x_1$. J'obtiens $x_2$. Je recommence, mais au-dessus de $x_2$, etc., j'obtiens une suite $(x_n)_{n\in\omega}$ qui vérifie: pour tout $n$, $x_n<\omega$, et $x_{n+1}$ est une limite de $x_{n,\beta}, \beta <\alpha$, où $x_{n,\beta}$ est $\beta$-inaccessible
(à chaque étape, on peut prendre la limite le long de $\alpha$ car $\alpha < \kappa$ et $\kappa$ est régulier, c'est le "by regularity")
Alors $x_\infty := \sup_n x_n$ est évidemment entre $x$ et $\kappa$, et il est dans $S$ (il est dans $S$, car à $\beta$ fixé, $\{(n,\beta), n\in\omega\}$ est cofinal dans $\omega\times \alpha$ ordonné lexicographiquement)
Le "rotating through" machin vient de ce qu'on voit $\alpha$ comme un "cercle" et dès qu'on a fait un tour on revient à $0$. La construction revient alors à faire $\omega$ tours. -
Voilà qui est clair et limpide !
Pourquoi c'est pas des gens comme toi qui écrivent dans wikipedia ?
En tous cas grand merci !!!
P.S. : Si le livre sort un jour je crois qu'il sera cosigné (par ordre alphabétique) : Christophe C, Martial L, Boban V et Maxime X...
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