Équation x1+x2+...+xp=n
Bonjour.
On note Sp,n le nombre de solutions de l'équation x1+x2+...+xp=n, où les xi sont des entiers naturels et n un entier naturel.
Je cherche à démontrer que Sp+1,n égale la somme allant de k=0 à k=n des Sp,k.
Je cherche depuis tout à l'heure et je suis bloqué, ne sachant pas quoi faire.
Merci d'avance pour vos réponses.
On note Sp,n le nombre de solutions de l'équation x1+x2+...+xp=n, où les xi sont des entiers naturels et n un entier naturel.
Je cherche à démontrer que Sp+1,n égale la somme allant de k=0 à k=n des Sp,k.
Je cherche depuis tout à l'heure et je suis bloqué, ne sachant pas quoi faire.
Merci d'avance pour vos réponses.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Tu as une nouvelle variable pour décomposer n. Elle va forcément prendre des unités aux autres variables, si elle en prend. Combien va-t-elle prendre d'unités aux autres ? 0, si elle prend rien et reste à 0. Jusqu'à un maximum de n, si elle dépossède toutes les autres. Dans chacun de ces cas, il s'agirait de savoir comment les p vieilles variables vont contribuer à la dotation de la nouvelle (p+1)ème variable.
@jrbrazza, est-ce que tu es sur que ce que tu veux démontrer est vrai ?
Explique mieux ton problème en donnant un exemple avec de petites valeurs de $n$ et $p$. Tes solutions sont-elles des p-uplets ?
Tu peux aussi regarder du coté de ''partition d'un entier'' dans le net, pour mieux comprendre le problème que tu poses.
Cordialement.
Tu pourrais @jrbrazza essayer de montrer dans un premier temps que tout p-uplet $(x_1, x_2, \cdots, x_{p+1})$ tel que : $x_1 + x_2 + \cdots + x_{p+1} = n$ est de la forme $(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k,\,k\,\in\,[\![0; n]\!]$.
Ensuite que la fonction $f : \,\bigcup_{k=0}^{n}\{(x_1, x_2, \cdots, x_p)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\}\,\rightarrow\,\bigcup_{k=0}^{n}\{(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\}$ qui à $(x_1, x_2, \cdots, x_p)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\,\mapsto\,(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)$ est bijective (injective, surjective).