Algèbres de Boole complètes
Salut à tous,
J'ai 2 questions, sans doute triviales, mais qui me posent problème.
Recopiage du Jech page 84 : ($B^+ = B \setminus \{0\})$.
Définition : 1) Soit $B$ une algèbre de Boole. Un sous-ensemble $W \subseteq B^+$ est une antichaîne dans $B$ si, pour tous $u,v \in W$, on a $u \neq v \to u \land v = 0$.
2) Soit $u \in B$. On appelle partition de $u$ toute antichaîne $W$ telle que $\bigvee W = u$.
Une partition de $1$ est appelée simplement une partition. A noter que ce n'est rien d'autre qu'une antichaîne maximale.
Définition : Soit $\kappa$ un cardinal infini. Une algèbre de Boole $B$ est dite $\kappa$-saturée s'il n'existe pas de partition $W$ de $B$ de cardinal $\kappa$. On note $sat(B)$ le plus petit cardinal $\kappa$ tel que $B$ soit $\kappa$-saturée.
Vocabulaire : Dans le cas où $B$ est $\kappa$-saturée, on dit aussi que $B$ satisfait la condition de $\kappa$-chaîne ($\kappa$-cc). Cette terminologie tient au fait que si $B$ est complète, alors $B$ est $\kappa$-saturée ssi il n'existe pas dans $B$ de suite strictement décroissante de longueur $\kappa$, i.e. ssi il n'existe pas de suite $(u_{\alpha})_{\alpha < \kappa}$ telle que $\forall \alpha < \kappa, u_{\alpha} \in B$ et $\forall \alpha, \beta, \alpha < \beta < \kappa \to u_{\beta} < u_{\alpha}$.
Question 1 : Déjà, là, je ne comprends pas pourquoi ces deux assertions sont équivalentes.
Je continue avec le Jech.
Théorème : Si $B$ est une algèbre de Boole complète infinie, alors $sat(B)$ est un cardinal régulier non dénombrable.
Démonstration : Posons $\kappa = sat(B)$. Il est clair que $\kappa$ est non dénombrable.
Question 2 : Là, c'est le "il est clair que" qui me perturbe. En utilisant la caractérisation ci-dessus, il s'agit donc de prouver qu'il y a toujours une chaîne infinie descendante de longueur $\aleph_0$. J'ai envie de raisonner ainsi : soit $u_0 \in B^+$. ll existe $u_1 \in B^+$ tel que $u_1 < u_0$, et blablabla.
Mais ai-je vraiment le droit de dire cela ? Ne faut-il pas supposer que $B$ est non-atomique, i.e. que $\forall a \in B^+ \exists b \in B^+; b<a$ ?
Question subsidiaire : Comment on fait, sur le forum, pour mettre un truc en gras ? Il semble que \textbf{} ne marche pas.
J'ai 2 questions, sans doute triviales, mais qui me posent problème.
Recopiage du Jech page 84 : ($B^+ = B \setminus \{0\})$.
Définition : 1) Soit $B$ une algèbre de Boole. Un sous-ensemble $W \subseteq B^+$ est une antichaîne dans $B$ si, pour tous $u,v \in W$, on a $u \neq v \to u \land v = 0$.
2) Soit $u \in B$. On appelle partition de $u$ toute antichaîne $W$ telle que $\bigvee W = u$.
Une partition de $1$ est appelée simplement une partition. A noter que ce n'est rien d'autre qu'une antichaîne maximale.
Définition : Soit $\kappa$ un cardinal infini. Une algèbre de Boole $B$ est dite $\kappa$-saturée s'il n'existe pas de partition $W$ de $B$ de cardinal $\kappa$. On note $sat(B)$ le plus petit cardinal $\kappa$ tel que $B$ soit $\kappa$-saturée.
Vocabulaire : Dans le cas où $B$ est $\kappa$-saturée, on dit aussi que $B$ satisfait la condition de $\kappa$-chaîne ($\kappa$-cc). Cette terminologie tient au fait que si $B$ est complète, alors $B$ est $\kappa$-saturée ssi il n'existe pas dans $B$ de suite strictement décroissante de longueur $\kappa$, i.e. ssi il n'existe pas de suite $(u_{\alpha})_{\alpha < \kappa}$ telle que $\forall \alpha < \kappa, u_{\alpha} \in B$ et $\forall \alpha, \beta, \alpha < \beta < \kappa \to u_{\beta} < u_{\alpha}$.
Question 1 : Déjà, là, je ne comprends pas pourquoi ces deux assertions sont équivalentes.
Je continue avec le Jech.
Théorème : Si $B$ est une algèbre de Boole complète infinie, alors $sat(B)$ est un cardinal régulier non dénombrable.
Démonstration : Posons $\kappa = sat(B)$. Il est clair que $\kappa$ est non dénombrable.
Question 2 : Là, c'est le "il est clair que" qui me perturbe. En utilisant la caractérisation ci-dessus, il s'agit donc de prouver qu'il y a toujours une chaîne infinie descendante de longueur $\aleph_0$. J'ai envie de raisonner ainsi : soit $u_0 \in B^+$. ll existe $u_1 \in B^+$ tel que $u_1 < u_0$, et blablabla.
Mais ai-je vraiment le droit de dire cela ? Ne faut-il pas supposer que $B$ est non-atomique, i.e. que $\forall a \in B^+ \exists b \in B^+; b<a$ ?
Question subsidiaire : Comment on fait, sur le forum, pour mettre un truc en gras ? Il semble que \textbf{} ne marche pas.
Réponses
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« Le Jech », c'est ça ?
https://www.springer.com/gp/book/9783540440857 -
Oui c'est exactement ça.
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Petite précision : j'ai adapté les notations du Jech à ma sauce, c'est-à-dire que j'utilise $\lor$ et $\land$ à la place de $+$ et $.$, donc $\bigvee$ et $\bigwedge$ à la place de $\sum$ et $\prod$.
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Les gens devraient utiliser "+" pour des xor uniquement à mon humble avis. Une algèbre de Boole est toujours un anneau dans lequel il y a donc une vraie somme en plus du sup de deux éléments.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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@Martial: $U_{i+1}-U_i$ est orthogonal à $U_{k+1}-U_k$. C'est ça qui te lie l'"antichaînisme" et la stricte décroissance ou croissance.
Pour ton autre question, une algèbre de Boole (complète) dont toutes les antichaînes sont finies a "une grosse antichaîne héroïque" finie dont les autres sont des comment dire ... "agglomérats", si tu vois ce que je veux dire :-D (L'héroïque est formée par les atomes, qui existent sinon il y aurait une suite strictement décroissante).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu pourrais pas développer un peu ? Je suis une tanche en matière d'algèbres de Boole...
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Tu prends une suite décroissante $u_0>u_1>u_2$ etc., alors tu peux regarder $u_i-u_{i+1}$, ils forment une antichaîne : $(u_i-u_{i+1})(u_j-u_{j+1}) = $ etc., je te laisse faire le calcul par distributivité et en distinguant selon que $i>j$ ou pas.
Inversement, une antichaîne te donne une suite décroissante en sommant (et en prenant des bornes sup aux limites). -
Pour des caractères en gras,utiliser "\mathbf {blabla}" qui donne $\mathbf {blabla}$
"Soit $\mathbf B$ une algèbre de [large]B[/large]oole complète ... "Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci Max.
D'accord pour la 1ère partie.
Mais dans l'autre sens je ne comprends pas : soit $(u_{\alpha})$ une antichaîne.
Si tu poses $v_0=u_0$, $v_1=u_0+u_1$ etc, tu as $v_1 > v_0$, donc ça va plutôt te donner une suite croissante, non ?
J'ai l'impression d'être complètement à l'ouest. Et je crains que ce ne soit pas seulement une impression... -
Merci Foys
$\mathbf{blabla}$ -
Dans une algèbre de Boole, avoir de longues suites croissantes c'est pareil que des longues suites décroissantes ($1--x$ (:P) )
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Bon, j'ai compris le reste mais j'en suis encore à essayer de prouver que si $B$ est complète et infinie, alors il est impossible que $sat(B)= \aleph_0$.
Pour cela j'essaye de prouver qu'il y a forcément une suite infinie strictement décroissante.
1) C'est clair si $B$ n'a pas d'atomes.
2) S'il y a au moins $\aleph_0$ atomes, la collection de ces atomes me donne une antichaîne dénombrable, donc c'est bon.
3) Mais que faire s'il n'y a qu'un nombre fini d'atomes ? -
S'il n'y a qu'un nombre fini d'atomes, $B$ est finie, car une algèbre de Boole complète est isomorphe à $P($ses atomes $)$
(preuve : soit $B$ complète, $A$ l'ensemble de ses atomes. Soit $P(A)\to B$ définie par $S\mapsto \bigvee S$. Clairement cette application est croissante.
Sa réciproque est donnée par $x\mapsto \{a\in A \mid a\leq x\}$, qui est clairement croissante aussi.
La preuve qu'elles sont bien inverses l'une de l'autre se base sur deux lemmes: a) si $y\neq 0$ dans $B$, il existe un atome $<y$; et b) $B$ est distributive (en effet $a\land -$ est adjoint à gauche de $(a\implies -) = (a^*\lor -)$, et donc il préserve les bornes supérieures)
) -
Merci, Max.
-
Martial a écrit:Mais que faire s'il n'y a qu'un nombre fini d'atomes ?
Tu recommences avec le complémentaire de la réunion desdits atomes ;-)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Quelles ont les hypothèses exactes de ce résultat? Il existe des algèbres de Boole non triviales sans atomes et complètes (l'ensemble des boréliens de $[0,1]$ quotienté par la relation "la différence symétrique est de mesure nulle" par exemple).Maxtimax a écrit:S'il n'y a qu'un nombre fini d'atomes, $B$ est finie, car une algèbre de Boole complète est isomorphe à $P$(ses atomes )Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Christophe : Finalement pour rédiger la preuve j'ai utilisé ta méthode, pour laquelle je te remercie.
Je te remercie également de ne pas m'avoir dit qu'il fallait utiliser le lemme de König, ça m'a obligé à me creuser le cerveau, lol. -
Foys : tu as raison je suis allé trop vite, sur le lemme a), qui est faux. Il est vrai dans une algèbre de Boole atomique, pour laquelle il est vrai... par définition :-D
(enfin je ne connais pas le terme précis mais définition : blabla) -
@Max : si c'est ça. Une algèbre Boole est dite atomique si tout élément non nul est minoré par au moins un atome.
Le théorème que tu cites est vrai dans le cas fini : toute algèbre de Boole finie $B$ est isomorphe à $\mathscr P(X)$, où $X$ est l'ensemble des atomes de $B$.
Dans le cas infini tu peux seulement dire que $B$ est isomorphe à une sous-algèbre d'un certain $\mathscr P(X)$. C'est le théorème de représentation de Stone. -
Oui tu as tout à fait raison; mais bon, Stone est valable pour toute algèbre de Boole; j'espérais en écrivant un truc plus sympa pour les complètes, et le résultat me disait quelque chose donc j'ai écrit. Evidemment mon "lemme a)" est apparu en y réfléchissant et j'ai bêtement cru qu'on pouvait le prouver (j'avais un germe d'argument en tête).
Bien sûr il est faux en général, et c'est précisément la condition qu'il faut pour obtenir $P(X)$ -
Une algèbre de Boole finie, c'est comme une tablette de chocolat: isomorphe à P(E) pour au moins un E fini. Les éléments sont les morceaux (insécables, allez, j'exagère) de chocolat.
L'intérêt est celles qui sont infinies et non dénombrables quand c'est pour le forcing.
J'avais noté l'erreur possible de max, mais je croyais qu'il supposait l'AB sans antichaine autre que finie. Dans ce cas, il ne faisait pas d'erreur. Bon apparemment non ou il a oublié qu'il a supposé ce truc, mais ça lui ressemble peu de donner des gros coups de pieds dans les flaques d'eau comme ça.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Etant sur mon pc à fuir le froid (ce qui est un comble après la canicule longue récente), et vu le titre du fil, je n'en ouvre pas un nouveau pour faire des rappels de définitions sur les algèbres de Boole, car je crois savoir que bien que non dure cette notion pose des problèmes aux gens de questions de redondance des propriétés mises dans la def.
1/ La distinction entre algèbre de Boole et anneau de Boole est assez superflue.
1.1/ être un anneau de Boole est la traduction de "être un anneau, pas forcément commutatif, unitaire, qui vérifie $\forall x: x^2=x$"
1.2/ Ca ENTRAINE alors la commutativité.
1.3/ L'opération $<<+1>>$ est une involution. De plus elle est décroissante pour l'ordre $(a,b)\mapsto ab=a$.
2/ On va utiliser l'expression "algèbre de Boole" plutôt que anneau de Boole quand on veut insister sur l'ordre. C'est tout.
3/ Toute algèbre de Boole est un anneau de Boole en posant $ab = (a,b)$ et en travaillant pour définir $+$, travail édifiant qui mérite d'être fait seul, histoire que l'initié parcourt le labyrinthe.
4/ C'est involutif. Si vous partez d'un anneau de Boole, que vous oubliez tout sauf l'ordre et que vous recontruisez les opérations, et bé, vous retombez sur celles données au départ.
5/ Important aussi il ya 2 structures parfaitement isomorphes du fait de l'involution décroissante " $non(x) := (x+1)$ "
6/ De manière imagée, une algèbre de Boole est essentiellement la donnée d'un ensemble $E$ et d'une PARTIE de $P(E)$ où on n'a pas oublié la prise du "complémentaire" et les opérations inf et sup, et où lesdites se comportent comme prévu (ie qui ressemble à un chouya près à la situation où on aurait partitionné $E$ et où on jouerait avec les réunions des morceaux de la partition. Seul l'infini introduit des "magies inattendues". Autrement dit, une algèbre de Boole est aux algèbres de Boole canoniques $P(X)$ ce que les ultrafiltres sont aux ultrafiltres principaux.
7/ A la (TRES GRANDE) différence de faire joujou avec les ultrafiltres, l'intérêt des algèbres de Boole est de penser à "des ultrafiltres externes irréels" (dits génériques) qui serait TOTALEMENT additifs. De ce fait, les P(X) n'ont strictement aucun intérêt. On va chercher ailleurs la substance sucrée qui donne du jus d'agave. On ne cherche pas des noises à un deficit d'additivité.
8/ Parmi les ensembles ordonnés, il y a une notion très proche: les algèbres de Heyting. Elles ont toutes les propriétés des alg de Boole SAUF la surjectivité de "non" (et donc aussi sauf son injectivité). Elles ne sont donc pas isomorphes à la structure obtenue en renversant l'ordre
9/ Pour celles-ceux qui connaissent la topologie, c'est très très simple:
9.1/ une algèbre de Heyting est la topologie munie de l'ordre inclusion
9.2/ une algèbre de Boole est seulement la prise des intérieurs des fermés de cette topologie. Les ouverts "en quelque sorte troués" sont évacués.
10/ C'est général, même sans parler de topologie. Soit $H$ une alg de Heyting:
10.1/ La restriction de son ordre à l'ensemble $B$ des $x$ tels que $\exists y: x=non(y)$ est une algèbre de Boole
10.2/ Tout élément $x$ de $B$ vérifie $non(non(x)) = x$
11/ Remarque: il n'est pas possible "d'anneler" les algèbres de Heyting car $x\mapsto x+1$ se doit d'être injective dans les anneaux habituels.
Je termine avec une preuve que je vous laisse voir de quoi. Supposons $non$ injective. Comme $non(non(non(x))) = non(x)$, il suit $x=non(non(x))$.
12/ Enfin quelques précisions de base dans toute alg d eHeytin (en particulier de Boole):
12.1/ $0$ est le minimum et $1$ est le maximum (abréviations).
12.2/ $non(x)$ est le maximum des $y$ tels que $inf(x,y)=0$.
12.3/ $x\to y$ est le maximum des $z$ tels que $inf(x,z)\leq y$.
12.4/ Corollaire : $non(x) = (x\to 0)$
12.5/ Corollaire : $\forall x,y,z: [\ ([inf(x,y] \leq z)\iff (x\leq [y\to z]) \ ]$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Christophe : Très bon résumé !
Question : Peut-on déduire de tout ça que $x \to y = \neg x \lor y$ ?
Ou, si tu préfètes : $x \to y = (1-x) + y$ ? -
Purée j'ai l'impression d'avoir envoyé ça il y a 3 jours. :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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