L'ordinal $\Theta$

Martial · September 2020

Bonjour à tous
J'ai un peu du mal avec la définition de l'ordinal $\Theta$. (Moi, quand on me prive de AC, c'est un peu comme si on me coupait les mains).

Alors voilà. Dans certains papiers, on trouve la définition suivante :
$$\Theta = \sup \{\gamma \mid \exists f: \mathbb{R} \to \gamma,\ f \text{ surjective } \}.
$$ Ça, je comprends : c'est le plus petit ordinal tel que $\mathbb{R}$ ne puisse pas se surjecter sur lui, et en particulier si AC est vrai alors $\Theta = (2^{\aleph_0})^+$.

Ailleurs on trouve la définition alternative suivante :
$$\Theta = \sup \{\gamma \mid \exists f: \mathbb{R} \to \gamma,\ f \text{ surjective },\ f \in L(\mathbb{R}) \}.
$$ Pourquoi pas, mais ça me paraît déjà un peu plus abscons. Et puis pourquoi tout le monde ne prend pas la même définition ?

Enfin, je lis quelque part : " $\Theta$ is the supremum of the ordertypes of prewellorderings in $L(\mathbb{R})"$.
Et là, ça me dépasse complètement. Comment peut-on parler du type d'ordre d'un prewellordering ? Il me semblait que la notion de type d'ordre ne faisait sens que pour les bons ordres...
Merci d'avance.
Martial.

P.S. Pour info, un prewellordering c'est comme un bon ordre mais pas forcément antisymétrique.

Mattar · September 2020

Concernant les pré-bons ordres, on peut facilement quotienter un pré-bon ordre en un bon ordre, c'est vraisemblablement ça son type d'ordre. Ainsi, se donner un pré-bon ordre sur un ensemble $X$, c'est plus ou moins la même chose que se donner une surjection sur un bon ordre.

Pour la deuxième définition de $\Theta$, je pense que la motivation principale est la suivante : on s'intéresse à $\Theta$ principalement dans des modèles ne vérifiant pas l'axiome du choix $AC$. Il est même très intéressant dans des modèles de l'axiome de détermination $AD$. Le modèle usuel de l'axiome de détermination, si on a assez de grands cardinaux dans l'univers ambiant $V$, est $L(\mathbb R)$. Ainsi, le $\Theta$ de la première définition calculé dans $L(\mathbb R)$ est le $\Theta$ de la deuxième calculé dans $V$.

Maxtimax · September 2020

c'est pas "of the prewellorderings of $\mathbb R$ in $L(\mathbb R)$" plutôt ? En tout cas il manque quelque chose dans ta phrase sinon ce supremum ne peut pas exister.

Auquel cas par ta remarque sur les surjections, c'est pile la même chose que la définition numéro 2

Martial · September 2020

@Mattar : merci pour tes explications, les choses sont beaucoup plus claires maintenant.

@Max : j'ai recopié bêtement la phrase dans l'article, mais tu as probablement raison. Mais comment, en l'absence de AC, s'assurer de l'existence d'un prewellordering de $\mathbb{R}$ ? (**)

En fait, j'essaye de lire le début de l'article de Vincenzo Dimonte : "Totally non-proper ordinals beyond $L(V_{\lambda +1})$" qui, comme son nom l'indique, s'intéresse à des renforcements de $I_0$.

L'auteur fait le parallèle entre $L(\mathbb{R})$ dans le cas où celui-ci satisfait AD, et $L(V_{\lambda +1})$ dans le cas où il existe un plongement élémentaire non trivial $j$ de ce truc dans lui-même, d'ordinal critique $\kappa < \lambda$ (avec donc $\lambda = j^{\omega}(\kappa)$). Il est donc amené à définir un analogue de $\Theta$ adapté à $V_{\lambda +1})$.

(**) Après réflexion, je pense que l'auteur veut dire : "le supremum des types d'ordres des prewellorderings dont le domaine est une partie de $\mathbb{R}$ et qui sont dans $L(\mathbb{R})$". Ça vous paraît tenir la route ?

Maxtimax · September 2020

Martial : ah je croyais que le deuxième message était de toi, pas de Mattar :-D
Bah $\mathbb R$ a un prewellordering évident : donné par $\mathbb R\to 1$. Après, tu peux en trouver des simples aussi, $\mathbb R\to n$ pour tout $n$, et même $\mathbb R\to \omega + n$ etc. Bref, tu en as tout plein, et là on te demande de prendre le supremum.

(j'utilise le point de vue de Mattar qui te dit qu'un prewellordering n'est rien d'autre qu'une surjection sur un bon ordre, i.e. un ordinal)

Martial · September 2020

Ça y est je crois que j'ai compris :par exemple tu envoies $\mathbb{R}$ sur $\omega_1$ surjectivement (on sait que c'est faisable), et ensuite tu décrètes que, si $a, b \in \mathbb{R}$, alors $a<b$ ssi $\varphi(a) \in \varphi(b)$ où $\varphi$ est la surjection.
Du coup $(\mathbb{R},<)$ hérite de toutes les propriétés de $(\omega_1, \in)$ sauf que $<$ n'est probablement pas antisymétrique. Pas grave, tu quotientes, et blablabla.

Un grand merci à tous deux !

christophe c · September 2020

Je suis super-heureux du retour de mattar pour qui je m'inquiétais.

Martial: un prébonordre ne doit pas être confondu avec un bon ordre. Toute surjection de IR sur un ordinal te donne de manière évidente le prébonordre $(x,y)\mapsto [f(x)<f(y)]$

Et réciproquement, si tu quotientes.

Quantà tes deux définitions, elles ne sont pas équivalentes du tout. Mattar te raconte (son paragraphe2) pourquoi la deuxième (qui est tout autre que la première) est parfois celle qui va intéresser les gens.

Enfin, petite remarque HS: certes, AD est "vérifié" par $L[\R]$ chez les ensemblistes conformistes, mais autant dire que ce n'est pas forcément le choix le plus jouissif, car $AD(\R)$, lui, n'a pas de raison même platonicienne d'y être vrai.

De sorte que c'est finalement ta première définition le meilleur choix, charge aux gens qui veulent $AD$, voire, $AD(\R)$ de l'admettre (et renoncer à AC). On n'a actuellement pas à ma connaissance de modèles franchement sexy de $AD(\R)$. Le paradigme de gout voulant "garder à tout prix AC" et disant "on est content, on a quand-même AD dans $L[\R]$" n'est pas si finaud. Selon Boban (conversation de café), d'ailleurs $ZF+CD+V=L[\R] + LebesgueAllmesurable+ Uniformization\vdash AD$, ce qui montre que $L[\R]$ est un terrain très politisé.

christophe c · September 2020

Oui c'est ça; il y a des années-lumière entre préordre et son cas ultraparticulier ordre.

Martial · September 2020

Merci Christophe. Justement, dans l'article, l'auteur cherche des renforcements de $I_0$ qui pourraient permettre d'exiber un modèle de $AD(\mathbb{R})$.

Je n'ai pas suffisamment avancé dans la lecture de l'article pour te dire si de tels modèles sont "jouissifs" ou "sexy", mais ça va peut-être venir.

Je poste l'article au cas où ça intéresse quelqu'un (je l'ai téléchargé légalement, donc no souci).

christophe c · September 2020

Merci, je viens de le télécharger!

Martial · September 2020

@Christophe : bonne lecture !

@AD : merci pour la modif, je ne savais pas qu'on pouvait mettre du latex dans le titre

christophe c · September 2020

Jevais d'abord lire la preuve que la cofinalité de omega3 est omega2 (sous AD) si tu vois ce que je veux dire ;-) ;-) ;-) ;-) ;-) ;-) ;-) ;-) :-D (En mode, je suis un gros lourd :-D )

Martial · September 2020

Oui, moi aussi ça m'a un peu scotché quand j'ai lu ça

christophe c · September 2020

D'autant que je croyais avoir lu quelque part que tous les $\omega_n$ sont mesurables. Ce qui me semble en contradiction avec ça.

Martial · September 2020

Il me semble que parmi les "premiers" cardinaux infinis il n'y a que $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_{\omega +1}$ et $\omega_{\omega +2}$ qui soient mesurables.

De toutes façons il n'y a pas contradiction puisqu'en l'absence de AC on n'a (à ma connaissance) aucun contrôle sur la cofinalité d'un mesurable.

christophe c · September 2020

Bon par définition quasiment il est régulier.

christophe c · September 2020

De mon pc: j'utilise la définition de mesurable qui dit que $k$ est mesurable quand il y a sur $k$ un ultrafiltre $k$-additif.

Martial · September 2020

Oui, c'est la définition que j'utilise aussi.
Mais t'es sûr que la preuve de mesurable $\Rightarrow$ régulier n'utilise pas AC ?

christophe c · September 2020

De mon téléphone. Oui. Si u est non bornée à chaque i tu associes le premier j tel que i<u(j). L'image de l'ultrafiltre par u est un ultrafiltre principal. Contradiction

Martial · September 2020

OK. Bon alors à mon avis $\omega_3, \omega_4, etc$ ne sont pas mesurables sous AD.
J'ai lu quelque part que seuls l'étaient $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_{\omega +1}$, $\omega_{\omega +2}$; $\omega _{\omega ^{\omega ^{\omega }}+1}$ et $\omega _{\omega ^{\omega ^{\omega }}+2}$. (Pas faciles à écrire, ces trucs).

axexe · September 2020

https://mathoverflow.net/questions/129036/counterintuitive-consequences-of-the-axiom-of-determinacy
C'est ici que j'ai vu que les omega n étaient singulier si n supérieur à 2.
C'est ici aussi qu'il est affirmé qu'ils ne sont pas mesurable (vu le niveau du type, pas de pb).

@martial Par contre, pour la singularité, je viens de voir que c'était aussi noté dans le premier papier que tu m'as donné "A brief history of determinacy".

Martial · September 2020

@axexe : si tu savais le nombre de papiers que j'ai sur mon disque dur et que je n'ai pas encore lus, ou en diagonale !

En gros, j'ai une grosse bibliothèque, et un petit cerveau, et en plus je maudis les journées de ne faire que 24 heures !
(Bon, c'est vrai, ça fait longtemps que je le dis, ya pas plus débordé qu'un retraité, lol).

Plus sérieusement, je n'ai pas réussi à voir qui était le "type" dont tu causes. JDH ?

axexe · September 2020

AEC lol. (Andres E.Caicedo)

Le problème de la théorie des ensembles est qu'elle est tellement addictive que j'aimerais bien de pas dormir.
C'est le seul domaine des maths où je reste toujours méfiant (AC ou AD etc) et ne suis jamais sûr de moi. Mais ce n'est pas mon domaine et j'y passe trop de temps.

(Même le professeur du cours de logique à Ulm s'est bien pris la tête avec AC vendredi soir...).