Le point de vue de Thierry Gaudin
Amis forumeurs, vous ne le savez peut être pas, mais d'après Thierry Gaudin vous êtes en train de créer une nouvelle religion, rien que cela ....
(NB : je poste ici , en l'absence d'une rubrique "Mathématiques et religion" ...)
https://www.academia.edu/33173064/Prospective_religions_rtf
Thierry Gaudin n'est pas un illuminé .....
https://fr.wikipedia.org/wiki/Thierry_Gaudin
(il est très actif dans l'organisation de prospective 2100.org)
(NB : je poste ici , en l'absence d'une rubrique "Mathématiques et religion" ...)
https://www.academia.edu/33173064/Prospective_religions_rtf
Thierry Gaudin n'est pas un illuminé .....
https://fr.wikipedia.org/wiki/Thierry_Gaudin
(il est très actif dans l'organisation de prospective 2100.org)
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Réponses
Ce type fait l'objet d'une page Wikipedia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Thierry_Gaudin
Bourbaki contient-il vraiment en lui-même ses propres fondements. Je dirais que non, dans la mesure où certains termes sont comme tirés du Néant... Je ne développe pas, je pense que vous avez compris.
Bonne journée.
Jean-Louis.
Ceci étant dit, il faut pas jeter les Bourbaki à la poubelle, il contiennent trop d'exercises intéressants pour qu'on s'en passe définitivement. Mais les utiliser comme un livre sacré :)o:-D :)o :)o
Sous-titres, SVP.
Bonne journée.
Jean-Louis.
Entendons-nous : le concept à la base du projet Bourbakiste est analogue à celui des encyclopédistes du XVIII siècle. Mais le même problème impossible à résoudre se présente dans l'un et l'autre projet. Les sciences dont on veut faire la sythèse ne sont pas des sciences mortes. Il en découle qu'après 50-60-80 ans les connaissances scientifiques deviennent "obsoletes". Certaines deviennent fausses, d'autres sont réinterprétés à la lumière de connaissances modernes. Donc il ne peut pas exister UN projet Bourbakiste. Il en existe une infinité, mais pour l'instant nous en avons vu un seulement. Il se peut très bien que en 2150 ou même avant les mathématiciens éprouvent le désir de faire la synthèse des connaissances mathématiques de leur époque et ils écriront un nouveau traité "Bourbakiste" et ainsi di suite. Mais il s'agit de travail sans fin.
Quels termes sont tirés du néant ? Veux-tu donner un exemple, s'il te plait ?
Il ne s'agit pas d’idolâtrer Bourbaki, ni son œuvre, mais de reconnaître que ce mathématicien polycéphale, dans un contexte très particuliers, a su rédiger un traité global hors du commun (pour l'époque). Si un mathématicien polycéphale contemporain peut mieux faire, qu'il le fasse ; cependant, j'ai de gros doutes quant au résultat final. Ce traité n'est pas parfait ; il aurait mérité un lissage, notamment pour y introduire les catégories (autrement qu'elles ont été introduites a posteriori dans le traité sur la topologie algébrique) ; d'autant que dans le traité d'algèbre, l'on y parle de propriétés fonctorielles. Le premier livre consacré à la théorie des ensembles, ayant fait l'objet d'un choix langagier par Claude Chevalley, aurait mérité également un bon lissage (un premier lissage ayant été opéré par Jacques Dixmier), en préservant ses idées originales, notamment sur le signe $\tau$. Les catégories y auraient pu trouver leurs places, au moyen des univers. Bien entendu et fort heureusement, la Mathématique ne se résume pas, ni ne peut se résumer à ce seul traité global, d'où l'obligation pour nous de nous étendre avec la passion qui anime chacun.
Bien cordialement,
Titi
...
Oui, tout est défini et justifié de A à Z dans Bourbaki.
Je ne dirais pas que c'est un "problème" parce que ça n'était, à mon avis, pas dans les objectifs de Bourbaki d'écrire une référence éternellement d'actualité. Bourbaki était très probablement conscient que les maths allaient ensuite évoluer, comme elle ont évolué avant lui.
Pour faire une analogie, un recensement donne le nombre de personnes habitant dans un pays. Mais il ne me viendrait pas à l'idée de dire que c'est un défaut du recensement de n'être valable que quelques années (car ensuite le nombre d'habitants change). Le but du recensement est juste de donner le nombre d'âmes vivant dans une région donnée, à un instant donné, c'est tout.
Par exemple, Serre, dans cette vidéo:
"[Bourbaki], c'est fait pour rendre service, ça les gens ne l'ont absolument pas compris. [...] Ce qui est fait dans Bourbaki, c'était pas les maths spécialement intéressantes, c'était les maths utiles pour faire des choses intéressantes. Un peu comme dans une cuisine où tu as le sel bien pur et ceci cela. Ça, ce n'est pas de la cuisine; la cuisine c'est de les mélanger. [...] Nettoyer et préparer bien les outils pour qu'après on puisse s'en servir. Et ça, malheureusement, les gens qui ont commenté Bourbaki n'y ont rien compris.".
Concernant le livre sur la théorie des ensembles (plus particulièrement les chapitres 1 et 2), Jacques Dixmier lève un voile sur sa rédaction à environ 45:10 ; échange très instructif.
En fait c'est le problème (pour moi c'est un problème, pour les logiciens je crois que ça ne l'est pas) de tout livre de logique qui doit bien partir de quelque chose. Je suis par exemple troublé par les définitions d'Euclide, par exemple "le point est ce qui n'a pas de partie". Personnellement ça ne m'éclaire pas beaucoup. Quand on débute en logique, on entend des choses comme "un alphabet est un ensemble infini de lettres..." Il y a aussi le dictionnaire dont il est bien évident qu'il ne peut pas définir tous les mots qu'il contient, et là aussi ça me gène.
Au fait, y a-t-il un parallèle entre l'impossibilité pour un dictionnaire de définir tous les mots qu'il contient et le premier théorème de Gödel ?
J'ai beaucoup d'états d'âme, heureusement que j'en avais moins lors de mes études ...
Bonne journée à tous.
Cordialement.
Jean-Louis.
On peut remplacer les lettres par des chaînes de caractères sur un ensemble fini de symboles convenu à l'avance.
Dirais tu qu'un langage de programmation est "non fondé" car il a fallu "partir de termes non définis?"
Les ordinateurs peuvent arbitrer toute la mathématique formelle (prouveurs).
On peut tout faire en partant d'un nombre fini de règles de réécriture (si on voit une suite de caractères comme ceci on en écrit une autre comme cela).
La liste finie des symboles opératoires employés apparaît dans la première page du livre que tout le monde déteste mais que personne n'a lu (Théorie des ensembles de Bourbaki):
$\tau,=, \Box, \in, \vee,\neg$. La gestion des variables liées se fait par des liaisons physiques (dans une implémentation machine les carrés seraient remplacés par l'adresse du symbole tau lieur correspondant, voir aussi "indices de De Bruijn").
Pour les symboles de constante (qui ne sont jamais que des noms), des artifices typographiques simples permettent de s'en donner une quantité illimitée ("soit $x_{\text{jamais à court de lettres}}$" un ensemble).
[size=x-small](*) Le coup des définitions/abréviations, c'est par exemple le fait que lorsqu'elle existe, la limite d'une fonction $f:\R \to \R$ en plus l'infini est ($u$ étant une variable liée) le terme $\tau_u \left ( \forall a\in ]0,+\infty[, \exists b\in \R, \forall x\in \R, x>b \Rightarrow |f(x)- u| < \varepsilon\right )$.
Seule $f$ apparaît dans cette expression dont "$\lim \limits_ {+\infty}f$" est l'abréviation (si la limite n'existe pas l'abréviation en question désigne simplement autre chose et échappe au discours mathématique dans la mesure où les axiomes employés ne permettent pas d'en déduire quoi que ce soit en général. C'est comme $4/0 = \tau_x(4 = 0x)$ voire même le sulfureux $0/0$ a.k.a. $\tau_x (0 = 0x)$).[/size]
Je l'ai lu, même examiné, voire scruté (depuis l'âge de 16 ans et j'en ai 56) et je ne le déteste pas du tout ; au contraire. Mais peut-être voulais-tu viser certains mathématiciens.
Bourbaki est agréable à suivre, mais je trouve les exercices tristes comme la pluie. Je ne parle que du Topologie générale que je connais.
L'exposé est suffisamment clair pour être enthousiasmant. Seulement il m'avait mis un coup au moral au moment de faire les exercices du premier chapitre, sur lesquels j'ai passé quelques jours, avant de les lâcher. Pas tant que ce soit dur. C'est juste triste. Et je ne pense pas avoir prodigieusement progressé. Je ne pensais pas que les maths pouvaient faire cet effet.
Voilà. Que ça me dérange n'implique pas que ça m'empêche de continuer la lecture. Mais je crois que j'ai encore un petit quelque chose à intégrer pour bien maîtriser ces notions.
Cordialement.
Jean-Louis.
Ceux que le sujet intéresse pourront aller sur leur site (mais oui !). On y trouve en particulier la liste des intervenants à leurs séminaires publics (c'est là où on se rend compte de l'incroyable fécondité de Pierre [large]C[/large]artier ...).
https://www.bourbaki.fr
Il y a aussi des liens sur des vidéos de certaines présentations (mais seules les plus récentes, bien sûr ...)
Parmi les critiques qu'on peut trouver ça et là, il y en a souvent une qui dit en substance que les auteurs méconnaissaient le théorème d'incomplétude de Gödel (alors que ce point est abordé informellement au tome EIV de théorie des ensembles, pp.74 à 76) par exemple.
Il paraît en effet incohérent de vouloir reconstruire les mathématiques en ignorant d’emblée les fondations !
Comme le dit A.Mathias dans son article « The ignorance of Bourbaki », les membres du groupe, Jean Dieudonné le premier, se sont employés à maintenir les travaux de Gödel dans un état d’existence minimal ! Par exemple, ils ne disent pas « les travaux de Gödel » mais plutôt: « les travaux les plus récents » !
Pourtant Henri Cartan s’est intéressé à ces questions mais ses écrits montrent que même après la parution des travaux de Gödel, il confondait « vrai » et « prouvable », « faux » et « réfutable » etc...
Alors pourquoi un tel déni collectif ? Pourquoi aucune des têtes de Bourbaki n’a eu un sursaut de lucidité ?
Telle est la question obsédante à laquelle tente de répondre l’article de Mathias.
Certains l’expliquent par des raisons sociologiques, philosophiques ou nationalistes: une certaine aversion du milieu universitaire français aux idées de Paracelse et de Leibniz, l’influence de Descartes, une conception de l’histoire opposée à celle de Hegel etc...
Les Bourbaki étaient motivés par l’étude des grands problèmes et ils estimaient que le domaine de la logique formelle en était dépourvu.
À moins que les Bourbaki n’aient pu se séparer d’une conception naïve de la logique qui prévalait jusqu’en 1929 où qu’ils aient hérité plus ou moins consciemment du mépris de Poincaré envers les travaux de Cantor et Russell.
Les Bourbaki n’ont pu faire leur deuil du programme de Hilbert !
Or, quand on parle de deuil, on parle de psychologie et seule la psychologie et ses failles peuvent expliquer un déni aussi persistant, une absence aussi flagrante de remise en cause et cette phrase prononcée par un des Bourbaki lors d’une lecture publique à l’université de Princeton (en présence de Gödel):
\begin{equation}
\textbf{En logique, rien ne s’est produit depuis Aristote !}
\end{equation}
Ces paroles, si elles ont vraiment été prononcées, semblent accréditer la thèse du trouble psychique polycéphale.
...
@df : Je n'aime pas Mathias ; je l'ai déjà dit ici, sur ce forum. La critique est trop facile. Si Mathias peut mieux faire, qu'il le fasse.
Par ailleurs, des gens sérieux pensent que Bourbaki, dans sa quête de hiérarchisation des structures, aurait mieux fait de s'intéresser à la théorie des catégories, ce que fit d'ailleurs Grothendieck plus souvent qu'à son tour.
Enfin, je trouve qu'on peut saluer Bourbaki pour avoir créé un système logique qui tient la route et qui n'est pas ZF.
Le bruit court que Bourbaki n'a pas écrit que le livre de Théorie des ensembles.
[Edit : je remercie Chaurien]
Pour ce qui est des maths modernes, on en veut curieusement plus à Bourbaki qu'à l'autoritarisme des gens qui, disant s'en inspirer, ont effectivement pris les décisions et imposé les réformes.
Cela étant on peut vomir les maths modernes autant que l'on veut, il y avait à cette époque plus de gens qui maîtrisaient les mathématiques qu'aujourd'hui en 2020 et ce à tous les niveaux (les maths en 2020 ce sont des certifiés qui pleurent en se demandant "qui est x" et des élèves de post-bac qui ne savent pas additionner deux fractions à un chiffre, tandis que les programmes parlent "d'algorithmique" et de "faire preuve d'esprit critique devant les stats": faut-il se féliciter des 40 et quelques années de croisade fanatique anti-"bourbakiste" contre le formalisme en mathématiques qui ont précédé cette situation? Je trouve que non mais ce n'est que mon avis).
Après les gens préfèrent célébrer les intentions et les méthodes plutôt que les résultats.
J'ai beau chercher, je ne trouve pas de réponse.
C'est pourtant cet événement qui fait dire à certains que la contribution de Bourbaki aux programmes des maths modernes fut quasi-nulle.
Dieudonné a bien tenté de peser sur les débats de la commission mais il est devenu très critique en parlant à propos des nouveaux programmes de « bannière stupide du modernisme. »
...