$\sqrt{17}$ est-il irrationnel ?

Maxtimax · September 2020

En lien (pas vraiment - mais je partage quand même, parce que je trouve ça très intéressant) avec ce fil, voilà un fil twitter intéressant.

Poirot · September 2020

Très intéressant ! Pour ceux qui ont la flemme de lire voilà mon résumé express : on peut démontrer l'irrationalité de $\sqrt n$ pour $2 \leq n \leq 16, n \neq 4, 9, 16$ en utilisant uniquement les notions d'entiers pairs et d'entiers impairs (pas besoin de toute l'artillerie du théorème fondamental de l'arithmétique disons), mais il semble que l'on ne puisse pas le faire avec $\sqrt{17}$. Des systèmes formels ont été proposés pour définir le bon cadre logique dans lequel la question est posée, mais la question reste encore ouverte.

Dreamer · September 2020

Bonjour.

Quand on arrive à l'étape $p^2 = 17 \cdot q^2$, n'est-il pas évident que si $p$ et $q$ sont des nombres naturels, il n'y a pas la même parité de facteurs des deux côtés de l'égalité ou est-ce déjà faire appel au théorème fondamental de l'arithmétique ?

D'avance merci.

Maxtimax · September 2020

C'est évident parce que le théorème fondamental de l'arithmétique est ancré dans ton intuition !

Dreamer · September 2020

D'accord.

Je tiens toutefois à préciser que cet argument tient compte de n'importe quelle décomposition en facteurs de p et q (donc pas forcément avec des facteurs
premiers).

Le but est de se rendre compte qu'un carré de naturel a forcément un nombre pair de facteurs, même s'ils ne sont pas tous premiers.

Ensuite, Il y a un nombre impair de facteurs d'un côté et un nombre pair de facteurs de l'autre si la décomposition en facteurs est menée à son terme.

Édit : Merci Calli, je n'avais pas pensé à ce cas de figure.

Encore merci.

Calli · September 2020

Bonjour,

Dreamer a écrit:

un carré de naturel a forcément un nombre pair de facteurs, même s'ils ne sont pas tous premiers.

Si on est pas assez précis sur la nature de ces facteurs, c'est faux. Par exemple, dans $8^2 = 4\times 4\times 4$ on a trois facteurs.

serge burckel · September 2020

$1^2=1$ pair/impair
$\sqrt 1$ est-il irrationnel ?
$p^2=1.q^2$...pair/impair...donc oui ? ah mais non en fait !

Bref, il faut voir que $17$ est premier ou plus généralement que $N$ (pour $\sqrt N$) a au moins un facteur de la forme $p^k$ avec $p$ premier ($\ge 2$) et $k$ impair et là et seulement là on peut répondre oui. De la même manière $\sqrt {2700}$ est irrationnel.

Maxtimax · September 2020

Serge : la question n'est pas de montrer que $\sqrt{17}$ est, ou non, irrationnel, ça c'est facile; mais de savoir si on peut le prouver avec des considérations de type pair/impair, en particulier sans utiliser le théorème fondamental de l'arithmétique.
C'est pour ça que j'ai posté en Logique et pas en Arithmétique

(Et, honnêtement, je n'aime pas me vanter mais franchement on peut espérer que je sais démontrer que $\sqrt{17}$ est irrationnel, non ?)

serge burckel · September 2020

J'avais compris et c'était l'objet de mon post.

Donc, pour être plus clair, on regarde si
a) $N$ est divisible par un facteur $m^k$ avec $1<m<N$ (avec $m$ quelconque, premier ou non) et $k$ IMPAIR et $N$ n'est pas divisible par $m^{k+1}$ ou bien
b) $N$ est divisible par $m$ avec $1<m\le N$ implique $m=N$.

Dans ces cas et seulement dans ces cas $\sqrt N$ est irrationnel.

gai requin · September 2020

@Max : Peut-on utiliser le pgcd (dont la définition ne nécessite pas le théorème fondamental de l'arithmétique) ?

Maxtimax · September 2020

Serge: Comment tu prouves l'irrationnalité de $\sqrt N$ à partir de ton a) ? Ou de ton b), d'ailleurs ?
(d'ailleurs, les deux sont déjà dans des considérations beaucoup trop avancées: divisibilité, exposants, etc.)

gai requin: en principe la définition requiert quand même des notions de divisibilité qui sont, je crois (il faudrait voir précisément les articles) bannies.
En fait, je t'invite à lire le fil twitter: l'une des difficultés (la principale, je crois) est de réussir à cerner précisément ce qu'on cherche. Si tu lis le fil tu pourras donc avoir une meilleure intuition de ce qu'on cherche, et pouvoir répondre toi-même à "est-ce qu'on accepte le pgcd ?".

serge burckel · September 2020

Donc on veut parler de $\sqrt N$ sans parler d'exposants ET de rationnels sans parler de divisions...ok, je vois....bon courage...amusez-vous bien ! :-P

Maxtimax · September 2020

Serge : oui, exactement - si on peut parler de divisions et d'exposants, autant utiliser le théorème fondamental de l'arithmétique !
Je t'invite à lire le fil si tu es perplexe quant à l'intérêt de la question - la motivation est tout à fait raisonnable, et la question du $17$ remonte visiblement à très longtemps (Platon,...)

Corto · September 2020

Marrant !

Petite question d'histoire : je suppose que les grecs connaissaient le théorème fondamental de l'arithmétique et savaient que $\sqrt N$ est soit entier soit irrationnel, non ?