Incompréhension solution exercice adjoint

Bonjour
Je ne comprends pas la solution d'un exercise du pdf "Category Theory for Computing Science" de Barr et Wells.
Dans le 13.2.9.9, on demande de prouver que pour tout ensemble $A$ comprenant plus d'un élément, le foncteur $-\times A:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ n'a pas d'adjoint à gauche ; on donne comme astuce que $1\times A$ est isomorphe à $A$.

J'ai essayé de prouver ça en partant de la définition d'un morphisme initial : si $L$ est un foncteur à gauche, pour tout ensemble $X$ on a un morphisme $\epsilon_X: L(X\times A)\to X$ de sorte que pour tout $B$ et un morphisme $f:L(B)\to X$ on a un unique morphisme $h:B\to X\times A$ de sorte que $\epsilon_X \circ L(h) = f$. Si on prend $X = 1$, vu qu'on a toujours un morphisme entre $L(B)\to X)$, on a toujours un unique morphisme entre $B$ et $1\times A$ qui est isomorphe à $A$, bref $A$ est un objet terminal ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Je me suis peut-être planté dans le sens des foncteurs et ma démonstration est peut-être fausse du coup.

Maintenant la solution de Barr et Wells se base sur le morphisme terminal : si $F$ est un adjoint à gauche, alors pour tout $X$ on a un morphisme $\eta_X:X\to F(X)\times A$ de sorte que pour tout $Y$ et morphisme $f:X\to Y\times A$ on a une unique fonction $g:F(X)\to Y$ qui fasse commuter le diagramme. En prennant $Y = 1$ la fonction $g:F(X)\to 1$ est unique, donc il ne peut y avoir qu'une seule fonction $f:X\to 1\times A$ isomorphe à $A$. Si $X$ est non vide c'est faux car il peut y avoir plusieurs fonctions.

Ce que je ne comprends pas, c'est qu'on puisse dire qu'en partant de l'unicité de la fonction $g$ on a forcément une seule fonction $f$ entre $X$ et $A$...