Unité et counité d'un foncteur adjoint ?
Bonjour
J'ai vu que les espaces topologiques et les fonctions continues forment une catégorie. Dans cette catégorie, le foncteur "forgetful" (je ne sais pas comment on le traduit en français ?) qui envoie un espace topologique sur l'ensemble de base (on oublie les ouverts) a un adjoint à gauche qui dote un ensemble de la topologie grossière, et un adjoint à droite qui dote un ensemble de la topologie discrète.
Ma définition d'un adjoint est celle d'un foncteur $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ tel qu'il existe pour chaque objet $X$ un morphisme universel $\eta_X$ de $F$ vers $X$. Je suis parti du foncteur "forgetful" et j'ai déroulé la définition : il y a un objet $G(X)$ de sorte que $F(G(X))$ est envoyé vers $X$ par $\eta_X$... sauf que je ne connais pas la définition d' $\eta_X$ !
Du coup je me demande ce qu'on entend quand on dit que tel foncteur est adjoint à gauche ou à droite d'un autre, sans qu'on ne donne le morphisme universel qui va avec ? J'imagine qu'un foncteur peut avoir plusieurs adjoints à gauche ou à droite en fonction du morphisme universel ?
J'ai vu que les espaces topologiques et les fonctions continues forment une catégorie. Dans cette catégorie, le foncteur "forgetful" (je ne sais pas comment on le traduit en français ?) qui envoie un espace topologique sur l'ensemble de base (on oublie les ouverts) a un adjoint à gauche qui dote un ensemble de la topologie grossière, et un adjoint à droite qui dote un ensemble de la topologie discrète.
Ma définition d'un adjoint est celle d'un foncteur $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ tel qu'il existe pour chaque objet $X$ un morphisme universel $\eta_X$ de $F$ vers $X$. Je suis parti du foncteur "forgetful" et j'ai déroulé la définition : il y a un objet $G(X)$ de sorte que $F(G(X))$ est envoyé vers $X$ par $\eta_X$... sauf que je ne connais pas la définition d' $\eta_X$ !
Du coup je me demande ce qu'on entend quand on dit que tel foncteur est adjoint à gauche ou à droite d'un autre, sans qu'on ne donne le morphisme universel qui va avec ? J'imagine qu'un foncteur peut avoir plusieurs adjoints à gauche ou à droite en fonction du morphisme universel ?
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Réponses
D'ailleurs attention, il faut bien préciser de quel côté $F$ est adjoint . Parce que là ton $F$ est adjoint à gauche mais tu utilises la notation $\eta$ qui est réservée en général à l'unité (dans l'autre sens donc, $\eta_X : X\to GF(X)$)
En fait, si $F$ est un foncteur qui a un adjoint à droite, alors cet adjoint à droite est unique à isomorphisme naturel près, et si tu fixes l'unité, à unique isomorphisme naturel près.
Donc ici si tu veux prouver que l'oubli est adjoint à gauche, tu peux chercher un $\eta$ qui convient.
Un truc qui est très important c'est qu'il y a à peu près 10 000 définitions de la notion de foncteur adjoint qui sont toutes équivalentes, mais tous les points de vue sont importants.
Ici par exemple, tu cherches à montrer que l'oubli (disons $U$) est adjoint à gauche de la topologie grossière (attention, tu t'es trompé : le foncteur "topologie grossière" est adjoint à droite de l'oubli), disons $G$.
Donc tu cherches à exhiber une unité $\eta: id \to GU$ et une co-unité $\epsilon: UG\to id$, c'est-à-dire respectivement:
- pour tout espace $X$, une application continue de $X$ vers $X$ muni de la topologie grossière. Y en a-t-il une qui te vient en tête ?
- pour tout ensemble $X$, une application de $X$ (l'ensemble sous-jacent à l'espace grossier $X$) vers $X$. Y en a-t-il une qui te vient en tête ?
Il te faut ensuite vérifier différents trucs, mais déjà trouver ces transformations naturelles est un bon début.
Mon raisonnement complet c'était :
- Je suppose $U:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ comme adjoint à gauche et note $R$ l'adjoint (inconnu) à droite.
- Pour tout $X\in\mathbf{Set}$ j'ai donc une counité $\epsilon_X: U(R(X)\to X$
- Par définition (je suis https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors#/media/File:Definition_of_the_counit_of_an_adjunction.svg ) pour tout espace $Y\in\mathbf{Top}$ tel qu'il y ait une fonction de $F(Y)$ dans $X$, il existe un unique mapping continu $h$ de $Y$ dans $R(X)$.
- Le premier truc que je vois ensuite c'est que pour un ensemble il peut y avoir plusieurs espaces topologiques, du coup un truc qui me vient c'est de supposer que $Y$ est un espace topologique basé sur $X$, ce qui me permet d'avoir une fonction identité dans $\mathbf{Set}$ entre $F(Y)$ et $X$. Du coup ça veut dire qu'il y a un unique mapping continu entre $Y$ et $R(X)$.
- C'est là où ça coince : intuitivement j'aimerais dire que ce mapping ne peut être qu'une injection, et que vu que le $Y$ défini au point précédent peut avoir n'importe quelle topologie cela signifie qu'il faut que $R(X)$ ait la topologie la moins fine possible.
Le problème c'est que je n'ai pas d'information particulière sur $\epsilon_X$. Idéalement, ça serait l'identité sur $X$, et dans ce cas-là on a $Id_x = U(h).Id_x$ et donc $U(h)=Id$, or l'injection est liftée sur l'identité donc c'est un mapping qui va de $Y$ vers $R(X)$, qui vérifie les équations, donc par universalité c'est forcément le $h$ qu'on cherche. Mais si c'est un $\epsilon_X$ qui m'arrange, il ne découle pas d'une étape de mon raisonnement. D'où ma question : est-ce que ça a un sens de dire qu'un foncteur est adjoint à gauche, mais sans préciser ni le foncteur à droite associé ni l'unité ou de counité ?
Je pense que tu as répondu en disant qu'un adjoint est unique à isomorphisme près si on ne fixe pas l'unité.
Effectivement, tel que tu le décris le $\epsilon_X$ ne découle pas de ce que tu as fait avant, mais c'est juste qu'il t'arrange (un peu comme le fait que $UR(X) = X$). En un sens, c'est un peu ce qu'il faut faire : il faut le deviner. Après tu peux le deviner plus ou moins facilement, en t'aidant plus ou moins du contexte etc.
Disons par exemple que tu as deviné que $R(X)$ serait $X$ muni d'une certaine topologie. Dans ce cas, pour un espace $Y$, le morphisme universel c'est $Y\to Y$, où le second $Y$ a une topologie particulière, qui ne dépend que de $U(Y)$.
Dans ce cas tu sais que pour toute topologie sur $Y$ moins fine que celle de départ, disons $Y^d$, tu as un morphisme $id : Y\to Y^d$ qui donne un iso (en fait l'identité !) $U(Y)\to U(Y^d) $ et donc $RU(Y)\to RU(Y^d)$, et donc que finalement $Y\to RU(Y)$ se factorise comme $Y\to Y^d \to RU(Y)$.
Ainsi, tu sais que $RU(Y)$ a une topologie moins fine que tout le monde, tu en arrives à la conclusion que c'est la topologie grossière, et là $\eta_Y$ n'a plus beaucoup de choix (en fait à partir de là tu peux prouver facilement que c'est le seul choix possible)
$\eta$ étant fixée, $\epsilon$ est entièrement déterminée, c'est un théorème général sur les adjonctions.
Pour la fin tu as tout à fait raison, j'ai répondu en disant que l'adjoint (à gauche ou à droite), s'il existe, est déterminé à isomorphisme près, indépendamment de l'unité. Tu devrais le comprendre à la définition par objet universel: $G(X)$ est déterminé pour que $X\to F(G(X))$ soit universel: ça ne dépend que de $X$ et de $F$ ! (il faut le prouver plus précisément, mais c'est certainement une manière de faire)
Donc oui, "$F$ a un adjoint à gauche" (ou à droite) ça a un sens, même si on ne précise pas les données qui définissent cette adjonction (évidemment, comme souvent, on serait content de connaître ces données)