Formule du pion

Aucune idée de qui est le pion.

Bonjour

On choisit k éléments parmi n, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
Puis on choisit 1 élément (x) parmi k, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
On obtient $C_n^kC_k^1$ possibilités.

Autre méthode :
On choisit un x parmi n éléments, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
Puis on choisit k-1 éléments parmi n-1, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
On obtient $C_n^1C_{n-1}^{k-1}$ possibilités.

Pourquoi ces quantités sont-elles égales ?

$C_n^kC_k^1=k\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$
$C_n^1C_{n-1}^{k-1} = n\frac{(n-1!)}{(k-1)!(n-1-k+1)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

CQFD.