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Formule du pion

Bonjour
Je recherche une démonstration ensembliste de la formule du pion qui n'utilise pas la formule avec les factorielles car je voudrais justement me servir de la formule du pion pour retrouver l'expression.
Merci.

Réponses

  • Etant donné un ensemble $E$ à $n$ éléments et étant donné $k$ tel que $0<k\leq n$, compter de deux manières différentes les couples $(X,x)$ où $X$ est une partie de $E$ à $k$ éléments et $x$ un élément de $X$.
  • D'accord merci
  • C'est quoi un pion dans ce contexte ?
  • Aucune idée de qui est le pion.
  • Clique ici sur "dénombrement" :
    http://www.mathoscope.ouvaton.org/mathoscope_xyz/Prepa/distributeur.php?mot=denombrement_permut
    J'ai appelé ça la formule de la compote.
    En gros, si tu veux transposer, ce qu'ils appellent un "pion", moi j'appelle ça une "pomme" mais c'est pareil.
  • Bonjour

    On choisit k éléments parmi n, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
    Puis on choisit 1 élément (x) parmi k, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
    On obtient $C_n^kC_k^1$ possibilités.

    Autre méthode :
    On choisit un x parmi n éléments, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
    Puis on choisit k-1 éléments parmi n-1, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
    On obtient $C_n^1C_{n-1}^{k-1}$ possibilités.

    Pourquoi ces quantités sont-elles égales ?

    $C_n^kC_k^1=k\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$
    $C_n^1C_{n-1}^{k-1} = n\frac{(n-1!)}{(k-1)!(n-1-k+1)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

    CQFD.
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