Sérieusement je pensais que tu l'avais fait exprès X:-(
Quel que soit l'entier n, on considère les n - 1 premiers entiers naturels non nuls. Ils sont bien inférieurs à n.
Il suffit alors de prendre le produit de ces nombres (qui est donc un multiple de chaque entier inférieur à n).
Je sèche complétement.
Peut-être un exemple de résolution de ce genre d'exercice m'aiderai à voir ce que tu attends comme réponse
Peut-être dois-je commencer par plus élémentaire ? 8-)
Je n'ai pas la dispo pour une description exhaustive des règles du jeu. Mais c'est simple, chaque fois que tu évoques quelques chose, demande-toi juste si c'est un nombre entier naturel. Par exemple, si tu fais la liste des nombres non nuls plus petit que $n$, tu évoques une liste. Ce n'est pas un nombre entier.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
D'accord. Les propriétés arithmétiques sont acceptées ?
Par exemple, le fait que si b est un multiple de a alors a est supérieur ou égal à b (dans N) ?
Oui après c'est à ton choix de les reprouver ou pas, comme tu veux, un exercice est toujours un multi-exercice selon les admis qu'on s'autorise. Mais "multiple" est accepté puisque c'est $\exists x: ax=b$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Christophe : ton exercice 42 est ni plus ni moins le théorème de récursion. Ce n'est pas vraiment compliqué mais chiant à mettre en forme. L'idée est de construire des approximations finies (donc des fonctions partielles) de la fonction totale que tu cherches à fabriquer.
Tu peux trouver la preuve complète dans le livre de Patrick ou dans mon Chap 6, pages 11 et suivantes. Tu te sers de la même méthode pour montrer qu'on a le droit de définir une fonctionnelle sur les ordinaux par récurrence transfinie.
Concernant la variante de Rescassol je pense que c'est faux, et heureusement car pour prouver que c'est vrai il faudrait faire une récurrence descendante... et là, ça pique !
C'était juste une boutade, mais je serais curieux de savoir si ça pouvait être vrai dans certains cas particuliers, autres que $f$ bijective, quoique ...
50/ Soit $A$ l'ensemble des polynômes, enfin des fonctions polynomiales de $\R \longrightarrow \R$ . Soit $f \in A$ telle que pour toute $g \in A$ $f \circ g=g \circ f$ . Peut-on déduire de ces hypothèses qui est $f(103)$ ?
@Christophe : ton exercice 42 est ni plus ni moins le théorème de récursion. Ce n'est pas vraiment compliqué mais chiant à mettre en forme. L'idée est de construire des approximations finies (donc des fonctions partielles) de la fonction totale que tu cherches à fabriquer.
En fait non, c'est un théorème de théorie des ensembles (en récursion, il n'y a pas vraiment de $\R$) et il est bien plus simple à montrer que ça (mais largement méconnu malheureusement; on peut écrire une variante de la définition de fonctions par induction transfinie).
1°) Rappel: une fonction est un ensemble $f$ de couples tels que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)$ et $(x,z)$ sont dans $f$ alors $y=z$.
On note $dom(f):=\{x \mid \exists y, (x,y) \in f\}$ et $im(f):=\{x \mid \exists y, (y,x) \in f\}$ (les axiomes usuels de ZF entraînent l'existence de tels ensembles).
2°) (Recollements) soit $A$ un ensemble de fonctions; les énoncés suivants sont équivalents
(i) la réunion de $A$ est une fonction
(ii) pour tous $g,h\in A$ et tout $x\in dom(g) \cap dom(h)$, $g(x)=h(x)$ (autrement dit ensemblistement: pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in g$ et $(a,c)\in h$, on a $b=c$).
La réunon de $A$ est appelée "recollement des fonctions de $A$" ou autres tournures de phrases équivalentes.
3°) Soit $X$ un ensemble et $R$ une relation bien fondée sur $X$ (i.e. pour toute partie non vide de $E$, il existe $m\in E$ tel que pour tout $x\in X$, si $(x,m)\in R$ alors $x\notin E$). Soit également $\Phi$ une relation fonctionnelle (i.e. pour tous $x,y,z$ $\Phi (x,y)$ et $\Phi(x,z)$ entraînent $y=z$). On dit qu'une partie $Y$ de $X$ est initiale si pour tous $a,b$ tels que $(a,b)\in R$, si $b\in Y$ alors $a\in Y$.
On dit qu'un ensemble $u$ est une fonction $\Phi$-inductive si
(a) $u$ est une fonction
(b) $dom(u)$ est une partie initiale de $(X,R)$
(c) pour tous $x\in dom (u)$, $\Phi \left (u|_{a}, u(x) \right )$ où $a$ désigne $\{y\in X \mid (y,x)\in R \}$.
********
4°) A l'aide de 2°) et en mettant de côté préjugés, états d'âme, aléas psychologiques et autres confusions mentales se faisant passer pour de l'ontologie et obscurcissant le paysage intellectuel des gens (i.e. en restant près des définitions) on montre facilement qu'il existe un ensemble de toutes les fonctions $\Phi$-inductives à domaine inclus dans $X$ et que toute réunion de fonctions $\Phi$-inductives est $\Phi$-inductive. Autrement dit il existe une plus grande fonction $\Phi$-inductive dite "fonction définie par récurrence" ou "par induction" via $\Phi$.
5°) la relation $\{(p,q) \in \N \mid p+1=q\}$ sur $\N$ est bien fondée.
6°) il y a des conditions suffisantes simples pour que la fonction définie dans 4°) ait son domaine égale à $X$, comme "$\Phi$ définie sur toutes toutes les fonctions inductives à valeurs dans $Y$ et prenant ses valeurs dans $Y$" où $Y$ est un certain ensemble. Dans l'exo 42 de Christophe, $Y$ va être $\R$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys : oui, c'est exactement comme ça que je fais (aux notations près), et effectivement l'exo 42 de Christophe correspond au cas particulier où $Y= \mathbb{R}$.
Je ne sais pas ce que tu appelles exactement la récursion, mais je suis bien d'accord avec toi que ce truc est un théorème de TDE.
Je l'appelle "théorème de récursion " parce que j'ai pompé l'expression sur Dehornoy, qui lui-même a dû la traduire de l'anglais. Mas il me semble que la plupart des gens disent "théorème de définition par récurrence", voire "par récurrence généralisée", voire "par récurrence généralisée sur les classes".
P.S. : J'aime bien ton "en mettant de côté préjugés, états d'âme, aléas psychologiques et autres confusions mentales se faisant passer pour de l'ontologie et obscurcissant le paysage intellectuel des gens"...
Je ne sais pas ce que tu appelles exactement la récursion, mais je suis bien d'accord avec toi que ce truc est un théorème de TDE.
Il s'agit d'un malentendu sur un point de vocabulaire alors. J'ai toujours vu le mot récursion désigner des concepts d'informatique théorique. Par exemple la construction d'un programme "par induction" (mais en fait exploitant un résultat de point fixe). C'est différent ici, les fonctions ensemblistes n'étant pas des programmes.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
En effet, en prenant $g(x)=103$ on obtient $f(103)=103$
Tu as compris, mais ta rédaction ne v eut rien dire du tout. IL n'y a aucune preuve.
Comme c'est les vacances, je ne te torture pas en te disant cherche encore.
Ce que TU VOULAIS dire (et il va falloir t'habituer à dire CE QUE TU VEUX DIRE et non pas la moitié de tes pensées, sinon ça donne l'impression que comme certains enfants, tu avales tes mots de peur qu'on les entende) est :
En prenant $g$ telle que $\forall x: g(x)=103$, on obtient $f(103) = f(g(103)) = g(f(103)) = 103$
LA PROCHAINE FOIS dis TOUT ce que tu penses, pas la moitié!
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Foys : en fait c'est de ma faute, je n'aurais pas dû employer le terme "récursion".
On a le même pb avec les fonctions récursives. En informatique la récursivité s'applique à une fonction qui s'appelle elle-même (genre : factorielle ou Fibonacci) ou à deux fonctions qui s'appellent mutuellement. En math, ce n'est pas du tout ça la récursivité...
54) Déterminer tous les entiers $n$ tels que pour tout polynôme $P\in \R[X]$ et tous $x_1<\cdots<x_n$ réels, on ait $$((\forall i,\; P(x_i)=x_i^2)\implies (\exists x\in \R,\; P'(x)=2x)).$$
54bis) Déterminer tous les entiers $n$ tels que pour tout polynôme $P\in\R[X] $et tous $x_1<\cdots <x_n$ réels, on ait
$$((\forall i,P(x_i)=0)\implies (\exists x\in\R ,P'(x)=0)).$$
OShine, juste pour te dire de bien profiter de tes vacances et de suivre, quand tu posteras à l'avenir la demande de JLT. Nous ne doutons plus de tes capacités INTUITIVES. Tu perdras donc ton temps à nous balancer des choses du genre "mon petit doigt me dit que" / "je sens bien que", etc
L'année qui vient, connaissant le système E.N. risque d'être pernicieuse et difficile pour toi. Tu as le cap "stagiaire->titulaire" à passer avec un gouvernement qui généralise les contractuels jusqu'aux PRAGs.
Et vu le COVID, ça va virer à la louche à la fin des stages. Comme tu as déjà de l'expérience, il te reste à te solidifier sur 2 points: autorité (discipline, punitions, tout ça) et Précision et rigueur mathématique (afin de ne pas subir de reproches de type "procéduriers").
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
En réaction à ce que je viens de lire dans un autre fil NE DÉMISSIONNE PAS (d'autant que si tu as connu Mantes tu as déjà tout vu) et dans quelques années comme dit JLT passe l'agreg et j'ajoute une précision l'agreg EXTERNE. Je ne te vois pas obtenir l'interne qui est bien plus difficile maintenant (je poste de mon téléphone je ne détaillé pas) que l'externe et tu es bien plus adapté dans ton profil à l'externe (le côté gesticulant pour empêcher les passing shot quand tu es à la volée) moyennant bien entendu des progrès réels de la ti ence et rigueur.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je pense avoir trouvé la solution à l'exercice de JLT.
Soit $P \in R[X]$.
Posons $Q(y)=P(y)-y^2$ pour $y \in \R$. Ainsi $Q$ est un polynôme comme somme de polynômes.
Premier cas :
$n \geq 2$
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $x_1, \cdots x_n$ des réels tels que $x_1 < \cdots <x_n$.
Si pour tout $i \in [|1,n|] \ Q(x_i)=0$ alors à fortiori $Q(x_1)=Q(x_2)=0$.
Comme $x \mapsto Q(x)$ est continue sur $[x_1,x_2]$ et dérivable sur $]x_1,x_2[$, d'après le théorème de Rolle, il existe $x \in ]x_1,x_2[ \subset \R$ (tout ouvert de $\R$ étant connexe) tel que $Q'(x)=0$
Il existe donc $x \in \R$ tel que $P'(x)-2x=0$ soit $P'(x)=2x$
Deuxième cas :
$n=1$
Prenons $P(x)=\dfrac{x^2}{2}$ et $x_1=0$
On a $Q(x_1)=Q(0)=0$ et $\forall x \in \R \ Q'(x)=-x$ donc $Q' \ne 0$
Conclusion : les entiers $n$ tels qu'on ait l'implication voulue sont les entiers $\boxed{\{ n \in \N | n \geq 2 \}}$
Je réfléchis à l'exercice suivant qui m'a l'air bien étrange.
30/ On colorie le plan en deux couleurs, vert et rouge. Pour tous les points A,B, si l'abscisse de B est égale à l'ordonnée de A alors l'un des deux points est vert parmi A et B.
30.1/ Prouve qu'il existe une droite entièrement verte
30.2/ Prouver qu'il existe une droite VERTICALE qui est entièrement verte.
Bonjour, mon avancement sur l'exercice 30 proposé par Christophe c.
Soit $A(x_A,y_A)$ et soit $B(y_A,y_B)$. Alors soit $A$ est vert soit $B$ est vert.
1er cas : $A$ est vert.
Deux situations se présentent pour $B$.
Si $B$ est vert alors tous les points $(y_A,y)$ avec $y \in \R$ sont verts. Donc il existe une droite verticale entièrement verte.
Si $B$ est rouge. le point $C(y_B,y_C)$ est vert. L'ensemble des points $\{(y_B,y) | y \in \R \}$ sont tous verts. Il existe une droite verticale entièrement verte.
2ème cas : $A$ est rouge.
Soit $y \in \R$ et $Y(y_A,y)$.
Alors les points $\{(y_A,y) | y \in \R \}$ sont tous verts.
L'ensemble de ces points étant une droite verticale, il existe une droite verticale entièrement verte.
Réponses
Quel que soit l'entier n, on considère les n - 1 premiers entiers naturels non nuls. Ils sont bien inférieurs à n.
Il suffit alors de prendre le produit de ces nombres (qui est donc un multiple de chaque entier inférieur à n).
Je ne peux pas utiliser de propriétés arithmétiques ?
C’est comme un jeu de plage, bon d’accord ;-)
Peut-être un exemple de résolution de ce genre d'exercice m'aiderai à voir ce que tu attends comme réponse
Peut-être dois-je commencer par plus élémentaire ? 8-)
Par exemple, le fait que si b est un multiple de a alors a est supérieur ou égal à b (dans N) ?
EXERCICE: XV2
Soit $f: \R\to \R$. Prouver l'existence d'une suite $u$, à termes réels, telle que $\forall n\in \mathbb{N}: u_{n+1} = f(u_n)$
Ce serait plus amusant avec $u_n = f(u_{n+1})$.
Cordialement,
Rescassol
Tu peux trouver la preuve complète dans le livre de Patrick ou dans mon Chap 6, pages 11 et suivantes. Tu te sers de la même méthode pour montrer qu'on a le droit de définir une fonctionnelle sur les ordinaux par récurrence transfinie.
Concernant la variante de Rescassol je pense que c'est faux, et heureusement car pour prouver que c'est vrai il faudrait faire une récurrence descendante... et là, ça pique !
C'était juste une boutade, mais je serais curieux de savoir si ça pouvait être vrai dans certains cas particuliers, autres que $f$ bijective, quoique ...
Cordialement,
Rescassol
50/ Soit $A$ l'ensemble des polynômes, enfin des fonctions polynomiales de $\R \longrightarrow \R$ . Soit $f \in A$ telle que pour toute $g \in A$ $f \circ g=g \circ f$ . Peut-on déduire de ces hypothèses qui est $f(103)$ ?
Je ne vois pas comment démarrer....
1°) Rappel: une fonction est un ensemble $f$ de couples tels que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)$ et $(x,z)$ sont dans $f$ alors $y=z$.
On note $dom(f):=\{x \mid \exists y, (x,y) \in f\}$ et $im(f):=\{x \mid \exists y, (y,x) \in f\}$ (les axiomes usuels de ZF entraînent l'existence de tels ensembles).
2°) (Recollements) soit $A$ un ensemble de fonctions; les énoncés suivants sont équivalents
(i) la réunion de $A$ est une fonction
(ii) pour tous $g,h\in A$ et tout $x\in dom(g) \cap dom(h)$, $g(x)=h(x)$ (autrement dit ensemblistement: pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in g$ et $(a,c)\in h$, on a $b=c$).
La réunon de $A$ est appelée "recollement des fonctions de $A$" ou autres tournures de phrases équivalentes.
3°) Soit $X$ un ensemble et $R$ une relation bien fondée sur $X$ (i.e. pour toute partie non vide de $E$, il existe $m\in E$ tel que pour tout $x\in X$, si $(x,m)\in R$ alors $x\notin E$). Soit également $\Phi$ une relation fonctionnelle (i.e. pour tous $x,y,z$ $\Phi (x,y)$ et $\Phi(x,z)$ entraînent $y=z$). On dit qu'une partie $Y$ de $X$ est initiale si pour tous $a,b$ tels que $(a,b)\in R$, si $b\in Y$ alors $a\in Y$.
On dit qu'un ensemble $u$ est une fonction $\Phi$-inductive si
(a) $u$ est une fonction
(b) $dom(u)$ est une partie initiale de $(X,R)$
(c) pour tous $x\in dom (u)$, $\Phi \left (u|_{a}, u(x) \right )$ où $a$ désigne $\{y\in X \mid (y,x)\in R \}$.
********
4°) A l'aide de 2°) et en mettant de côté préjugés, états d'âme, aléas psychologiques et autres confusions mentales se faisant passer pour de l'ontologie et obscurcissant le paysage intellectuel des gens (i.e. en restant près des définitions) on montre facilement qu'il existe un ensemble de toutes les fonctions $\Phi$-inductives à domaine inclus dans $X$ et que toute réunion de fonctions $\Phi$-inductives est $\Phi$-inductive. Autrement dit il existe une plus grande fonction $\Phi$-inductive dite "fonction définie par récurrence" ou "par induction" via $\Phi$.
5°) la relation $\{(p,q) \in \N \mid p+1=q\}$ sur $\N$ est bien fondée.
6°) il y a des conditions suffisantes simples pour que la fonction définie dans 4°) ait son domaine égale à $X$, comme "$\Phi$ définie sur toutes toutes les fonctions inductives à valeurs dans $Y$ et prenant ses valeurs dans $Y$" où $Y$ est un certain ensemble. Dans l'exo 42 de Christophe, $Y$ va être $\R$.
Je ne sais pas ce que tu appelles exactement la récursion, mais je suis bien d'accord avec toi que ce truc est un théorème de TDE.
Je l'appelle "théorème de récursion " parce que j'ai pompé l'expression sur Dehornoy, qui lui-même a dû la traduire de l'anglais. Mas il me semble que la plupart des gens disent "théorème de définition par récurrence", voire "par récurrence généralisée", voire "par récurrence généralisée sur les classes".
P.S. : J'aime bien ton "en mettant de côté préjugés, états d'âme, aléas psychologiques et autres confusions mentales se faisant passer pour de l'ontologie et obscurcissant le paysage intellectuel des gens"...
Avec $g(x)=2x$ ça ne fonctionne pas.
La réponse est oui et $f(103)=103$
Tu as compris, mais ta rédaction ne v eut rien dire du tout. IL n'y a aucune preuve.
Comme c'est les vacances, je ne te torture pas en te disant cherche encore.
Ce que TU VOULAIS dire (et il va falloir t'habituer à dire CE QUE TU VEUX DIRE et non pas la moitié de tes pensées, sinon ça donne l'impression que comme certains enfants, tu avales tes mots de peur qu'on les entende) est :
En prenant $g$ telle que $\forall x: g(x)=103$, on obtient $f(103) = f(g(103)) = g(f(103)) = 103$
LA PROCHAINE FOIS dis TOUT ce que tu penses, pas la moitié!
On a le même pb avec les fonctions récursives. En informatique la récursivité s'applique à une fonction qui s'appelle elle-même (genre : factorielle ou Fibonacci) ou à deux fonctions qui s'appellent mutuellement. En math, ce n'est pas du tout ça la récursivité...
Tu pourrais expliquer ça à Monsieur Jech, STP ?
(Bon, d'accord, s'il appliquait la consigne le bouquin ferait 1600 pages, mais on n'est plus à ça près, lol).
54) Déterminer tous les entiers $n$ tels que pour tout polynôme $P\in \R[X]$ et tous $x_1<\cdots<x_n$ réels, on ait $$((\forall i,\; P(x_i)=x_i^2)\implies (\exists x\in \R,\; P'(x)=2x)).$$
54bis) Déterminer tous les entiers $n$ tels que pour tout polynôme $P\in\R[X] $et tous $x_1<\cdots <x_n$ réels, on ait
$$((\forall i,P(x_i)=0)\implies (\exists x\in\R ,P'(x)=0)).$$
Commence par regarder des petites valeurs de $n$.
* La propriété est-elle vraie pour $n=1$ ?
* La propriété est-elle vraie pour $n=2$ ?
* etc.
Pour la 54 bis avec un dessin j'ai l'impression qu'elle est vraie pour tout entier naturel n.
L'année qui vient, connaissant le système E.N. risque d'être pernicieuse et difficile pour toi. Tu as le cap "stagiaire->titulaire" à passer avec un gouvernement qui généralise les contractuels jusqu'aux PRAGs.
Et vu le COVID, ça va virer à la louche à la fin des stages. Comme tu as déjà de l'expérience, il te reste à te solidifier sur 2 points: autorité (discipline, punitions, tout ça) et Précision et rigueur mathématique (afin de ne pas subir de reproches de type "procéduriers").
Je pense avoir trouvé la solution à l'exercice de JLT.
Soit $P \in R[X]$.
Posons $Q(y)=P(y)-y^2$ pour $y \in \R$. Ainsi $Q$ est un polynôme comme somme de polynômes.
Premier cas :
$n \geq 2$
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $x_1, \cdots x_n$ des réels tels que $x_1 < \cdots <x_n$.
Si pour tout $i \in [|1,n|] \ Q(x_i)=0$ alors à fortiori $Q(x_1)=Q(x_2)=0$.
Comme $x \mapsto Q(x)$ est continue sur $[x_1,x_2]$ et dérivable sur $]x_1,x_2[$, d'après le théorème de Rolle, il existe $x \in ]x_1,x_2[ \subset \R$ (tout ouvert de $\R$ étant connexe) tel que $Q'(x)=0$
Il existe donc $x \in \R$ tel que $P'(x)-2x=0$ soit $P'(x)=2x$
Deuxième cas :
$n=1$
Prenons $P(x)=\dfrac{x^2}{2}$ et $x_1=0$
On a $Q(x_1)=Q(0)=0$ et $\forall x \in \R \ Q'(x)=-x$ donc $Q' \ne 0$
Conclusion : les entiers $n$ tels qu'on ait l'implication voulue sont les entiers $\boxed{\{ n \in \N | n \geq 2 \}}$
Pour montrer que le cas $n=1$ ne fonctionne pas, je dois montrer que :
$\exists P \in \R[X]$ et il existe des réels $x_1 , \cdots ,x_n$ tels que $x_1 < \cdots <x_n$ et :
$Q(x_1)=0$ ET $\forall x \in \R \ Q'(x) \ne 0$
Est-ce correct niveau logique ?
Soit $n=1$.
Prenons $\forall x \in \R \ P(x)=x^2+x$ et donc $\forall x \in \R \ Q(x)=x^2+x-x^2=x$
Prenons $x_1=0 \in \R$ ainsi $Q(x_1)=Q(0)=0$
Alors que pour tout $x \in \R$ on a $Q'(x)=2x+1-2x=1 \ne 0$
Je réfléchis à l'exercice suivant qui m'a l'air bien étrange.
30/ On colorie le plan en deux couleurs, vert et rouge. Pour tous les points A,B, si l'abscisse de B est égale à l'ordonnée de A alors l'un des deux points est vert parmi A et B.
30.1/ Prouve qu'il existe une droite entièrement verte
30.2/ Prouver qu'il existe une droite VERTICALE qui est entièrement verte.
Soit $A(x_A,y_A)$ et soit $B(y_A,y_B)$. Alors soit $A$ est vert soit $B$ est vert.
1er cas : $A$ est vert.
Deux situations se présentent pour $B$.
2ème cas : $A$ est rouge.
Soit $y \in \R$ et $Y(y_A,y)$.
Alors les points $\{(y_A,y) | y \in \R \}$ sont tous verts.
L'ensemble de ces points étant une droite verticale, il existe une droite verticale entièrement verte.