Test de conformité d'une proportion

anymal34
anymal34
dans Statistiques
Bonjour
J'ai entouré dans la photo de mon cours la phrase que je ne comprends pas.

Lorsqu'on fait la somme de n variables aléatoires de Bernoulli, on arrive à la loi binomiale B(n,p).
Lorsqu'on fait la moyenne de n variables aléatoires de Bernoulli, on arrive à une variable aléatoire dont l’espérance est p et la variance p(1-p)/n. Jusque là je comprends mais je ne comprends pas pourquoi cette variable suit une loi binomiale et de paramètre n et p/n ( B(n,p/n) ). Est-ce que cette variable suit vraiment une loi binomiale ? Si oui, est-ce que les paramètres sont bien n et p/n ? Si oui quelqu'un pourrait-il me rédiger une petite démonstration svp ?
Merci beaucoup.
Nicolas.104468

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il y a un gros problème dans ce qui est raconté. La fréquence est par nature un nombre entre 0 et 1, donc une variable aléatoire "fréquence" ne peut pas suivre une loi binomiale, qui ne prend que des valeurs entières. la phrase que tu mets en évidence raconte que la fréquence serait un nombre entier entre 0 et n, c'est quand même un peu n'importe quoi !

    Si n est grand (plusieurs centaines, à la limite au moins 30 avec des réserves), l'approximation classique de la loi binomiale (du nombre d'individus) par une loi Normale permet d'obtenir ce qui est dit par la suite. On trouve ça dans les cours sérieux.

    Cordialement.
  • anymal34
    anymal34
    Et bien super merci pour ta confirmation parce que là j’étais bien embêté avec ça.
    Merci.
    Nicolas.
  • zeitnot
    zeitnot
    La fin est bien pourrie aussi !

    "La variable aléatoire de décision est .."

    Ce qui est écrit n'est en rien une variable aléatoire. Confusion classique entre variable aléatoire et valeur prise par cette dernière sur un échantillon.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... si je lis bien, p est une variable aléatoire, donc $\theta$ aussi ; mais c'est toujours un problème quand on définit un test, la variable de décision est une variable aléatoire (elle dépend du tirage de l'échantillon) mais la décision se fait sur une réalisation (unique !!) de cette variable améatoire.

    Cordialement.
  • zeitnot
    zeitnot
    Oui, mais une fois l'échantillon choisi, si on appelle "p" est la valeur prise. Il n'y plus rien d'aléatoire.

    Non la variable aléatoire de décision ne dépend pas de l'échantillon. Par contre la valeur prise par la variable aléatoire dépend bien elle de l'échantillon. Comme la différence entre $f$ et $f(x)$. Utilisation d'une majuscule P pour la v.a (la fonction) qui à chaque échantillon associe p la proportion observée sur cet échantillon, permettrait de clarifier les choses.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement, c'est ce qui est fait dans la plupart des bons cours :-)
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