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Match de basket

Bonsoir,

On désire organiser des matchs entre $2n$ équipes de basket, chacune disputant un match. De combien de façons $u_n$ peut-on organiser ces matchs, c'est-à-dire apparier les équipes 2 à 2 ?

Montrer que pour tout $n \geq 2$ on a $u_n= (2n-1) u_{n-1}$. En déduire $u_n$.


Je n'arrive pas à montrer que $u_n = (2n-1)u_{n-1}$ ...

Pour la suite, ce n'est pas trop dur, on a : $u_n = (2n-1) u_{n-1} = (2n-1)(2n-3) u_{n-2} = (2n-1)(2n-3) \cdots 3 u_1$ avec $u_1=1$

Donc $u_n=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}$

Réponses

  • Bonjour.

    Il suffit de décrire comment, à partir des appariements de 2(n-1) équipes on obtient tous les appariements de 2n équipes. Tu écris ça en bon français, en contrôlant bien ce que tu dis, et tu trouves.

    Bien évidemment, on peut se faire la main avec n=2 et n=3, qui permettent facilement de faire tous les cas.

    Cordialement.

    NB : je n'ai fait que paraphraser l'énoncé !
  • J'ai fait un exemple pour $n=2$, il y a 4 équipes, je trouve $u_2=3$
    L'équipe 1 joue avec la 2 et la 3 avec la 4, ou l'équipe 1 avec la 3 et la 2 avec la 4 ou l'équipe 1 avec la 4 et la 3 avec la 2.

    Mais j'ai du mal à faire le lien entre quelque chose en français et l'équation $u_n=(2n-1)u_{n-1}$
  • Gerard0 a écrit:
    Il suffit de décrire comment, à partir des appariements de 2(n-1) équipes on obtient tous les appariements de 2n équipes. Tu écris ça en bon français ...

    On se moque de savoir si tu as du mal, on attends que tu le fasses (finalement, il te manque autre chose que ce que tu travailles avec Christophe : vouloir traiter la question).

    Tu a regardé combien ça fait pour n=2, pas essayé de décrire comment, à partir des appariements de 2(n-1) équipes on obtient tous les appariements de 2n équipes. Tu ne suis jamais les conseils, tu pleures tout de suite que tu ne comprends pas !!
    Mais peut-être ne comprends(tu pas les phrases en français ?

    Noobey, ce que tu as fait ne sert à rien, au prochain exercice il attendra que tu lui tienne la main ...
  • Peut-être que je ne sais pas comment chercher. Dénombrement je ne sais pas comment chercher car je n'en ai pas fait depuis des années.

    Pour $2n$ équipes il y a $u_n$ façons d'organiser des matchs.

    Je cherche pour $2n-2$ équipes combien il y a de façons d'organiser des matchs.

    Je choisis une équipe parmi les $2n$ équipes. Elle dispute un match avec l'une des $2n-1$ équipes restante. Une fois cette 2ème équipe choisie, il reste $2(n-1)$ équipes à apparier.

    Mais comment traduire cela en équation ?
  • Pas en équation, en calcul ...

    Donc tu n'as même pas compris l'explication de (je ne sais plus qui, elle a été effacée - ah oui !).
    Tu as trois paniers de pommes contenant le même nombre de pommes; sachant combien il y a de pommes par panier comme calculer le nombre de pommes ?

    Le comptage, même appelé dénombrement, suit les mêmes règles qu'en primaire. Tu as le droit de les utiliser.
  • Soit $x$ le nombre de pommes par panier.
    Le nombre total de pommes est $3x$.

    Mais je ne vois pas le lien avec l'exercice.
  • Pourtant, dans l'exercice, c'est la même idée ...
  • Une indication pour se ramener au cas $2(n-1)$ équipes à partir du cas $2n$ équipes : UN match se joue entre DEUX équipes.
  • On a 100 équipes.
    On a plein de façons d'associer ces 100 équipes pour faire des matches. On a en fait $u_{50}$ façons de les associer.
    Combien vaut $u_{50}$ ? je ne sais pas, peu importe.
    Une des façons, la plus simple, c'est par exemple $Eq_1$ joue contre $Eq_2$, $Eq_3$ joue contre $Eq_4$ etc etc $Eq_{99}$ joue contre $Eq_{100}$
    C'est une des solutions, mais ce n'est pas la seule, il y a en tout $u_{50}$ combinaisons du même type.

    Il y a 2 équipes nouvelles qui arrivent, $Eq_{101}$ et $Eq_{102}$
    Comment je peux faire ?
    En partant de la disposition ci-dessus ( $Eq_1$ contre $Eq_2$ etc etc )
    Je peux tout simplement dire à $Eq_{101}$ de jouer contre $Eq_{102}$ sans rien changer à tous les autres matches, et voilà j'ai une combinaison qui convient.
    Mais ce n'est pas la seule façon.
    Je peux dire que $Eq_{101}$ joue contre $Eq_1$ , du coup, $Eq_2$ n'a plus d'adversaire, $Eq_2$ va jouer contre $Eq_{102}$, et ça me fait une solution de plus.

    Je te laisse continuer la réflexion. Détailler toutes les questions qu'il faut se poser quand on passe de 100 à 102 équipes.
    Puis ensuite, il faudra rédiger cela de façon plus sérieuse, plus formelle. Mais si tu sais expliquer précisément comment compter $u_{102}$ à partir de $u_{100}$, c'est déjà 80% du travail qui est fait.
  • OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,2021890,2022634#msg-2022634
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Bonjour

    Et bien, le lien me semble évident : au basket pour obtenir des points, il faut lancer le ballon dans un panier.
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