Catalogue de figures presque...
Bonjour,
Souvent, des élèves, pour expliquer qu'une figure possède telle ou telle propriété, disent "parce que ça se voit". Et cela dure longtemps : il n'est pas rare de l'entendre encore en troisième et je constate d'ailleurs que je l'entends de plus en plus souvent à ce niveau. C'est donc important de leur proposer des figures qui mettent leur sens en défaut. Et heureusement de telles figures ne manquent pas, on peut même en fabriquer autant qu'on veut, avec un "écart" à la figure qui posséderait la propriété en question aussi petit qu'on veut.
Mais il serait bon que ces figures soient, en plus, les plus simples possibles, pour que d'une part elles soient faciles à construire et d'autre part pour marquer les esprits plus efficacement. En voici deux :
1 - Celle-ci est bien connue : ABCD est un losange de côté 5 cm dont une diagonale mesure 7 cm. ABCD est-il un carré ?
2 - ABCD est un carré de côté 11 cm. E est le point de [AD] tel que AE = 3 cm et F celui de [CD] tel que CF = 3 cm. BEF est-il équilatéral ?
J'ai tracé la première, qui est super : on a vraiment l'impression d'avoir à faire à un carré et en plus ses diagonales sont perpendiculaires. Quant à la deuxième il s'agit d'un triangle isocèle non équilatéral dont les longueurs de côtés différentes ne s'écartent que de 1 mm à peine.
D'autres idées ?
Souvent, des élèves, pour expliquer qu'une figure possède telle ou telle propriété, disent "parce que ça se voit". Et cela dure longtemps : il n'est pas rare de l'entendre encore en troisième et je constate d'ailleurs que je l'entends de plus en plus souvent à ce niveau. C'est donc important de leur proposer des figures qui mettent leur sens en défaut. Et heureusement de telles figures ne manquent pas, on peut même en fabriquer autant qu'on veut, avec un "écart" à la figure qui posséderait la propriété en question aussi petit qu'on veut.
Mais il serait bon que ces figures soient, en plus, les plus simples possibles, pour que d'une part elles soient faciles à construire et d'autre part pour marquer les esprits plus efficacement. En voici deux :
1 - Celle-ci est bien connue : ABCD est un losange de côté 5 cm dont une diagonale mesure 7 cm. ABCD est-il un carré ?
2 - ABCD est un carré de côté 11 cm. E est le point de [AD] tel que AE = 3 cm et F celui de [CD] tel que CF = 3 cm. BEF est-il équilatéral ?
J'ai tracé la première, qui est super : on a vraiment l'impression d'avoir à faire à un carré et en plus ses diagonales sont perpendiculaires. Quant à la deuxième il s'agit d'un triangle isocèle non équilatéral dont les longueurs de côtés différentes ne s'écartent que de 1 mm à peine.
D'autres idées ?
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Réponses
Je poste juste pour dire qu'on l'entend encore en terminale le "ça se voit", même en forçant les exercices du type "le dessin mentait".
D'habitude j'en vois quand même plusieurs dans chaque chapitre des manuels de mes élèves, des dessins faits pour avoir l'air de mais avec des données qui font qu'en fait non. Il y a pas mal de "en fait les points ne sont pas alignés" par Thales dans les manuels de troisième, ou d'angles pas droits par Pythagore.
De telles figures dans les bouquins Transmath par exemple je n'en vois pas. Elles sont toutes d'une banalité à mourir d'ennui.
Pour ma figure 1, ce qui est bien c'est que les diagonales sont aussi perpendiculaires, il ne lui manque que l'égalité des longueurs de celles-ci pour être un carré. Et pour la figure 2 le triangle BEF étant isocèle il ne lui manque lui aussi qu'une seule égalité pour qu'il soit équilatéral. Il y a de la symétrie dans les deux figures, elles sont simples mais percutantes.
Avec des figures trop simples on ne va pas aller bien loin non plus. Il faut bien fabriquer les contre-exemples si on ne veut pas attendre que le hasard fasse les choses, non ?
Dans les exercices de niveau lycée j'irais jusqu'à dire que c'est, pour une fois, un truc desquels les manuels se sortent bien en général.
J'ai souvenir du graphe d'une fonction qui donnait l'impression qu'elle était parfaitement lisse et monotone alors qu'il y avait un petit pic microscopique invisible caché quelque part, dans le même ordre d'idées, ou de deux courbes qui avaient l'air tangentes mais en faits se coupaient.
Il faut aussi que les dimensions ne soient ni trop grandes, car alors l'élève aura plus de mal à les dessiner avec précision et cela diminuera sa conviction, ni trop petites, car alors le doute viendra d'un manque de clarté.
Par exemple pour la figure 2 on pourrait prendre un carré de côté 15 cm avec AE = CF = 4 cm. La différence de longueur entre les deux côtés non égaux du triangle BEF est encore plus petite (environ 3 trois dixièmes de mm). Mais quand l'élève va tracer un carré de 15 cm, il va se rendre compte que c'est pas très précis et ça va casser sa certitude. Il doit avoir beaucoup de sûreté en construisant la figure.
J’avais posté ça sur le forum.
Il s’agit de deux photos identiques.
On pose la première à gauche, on copie, et on colle à droite.
C’est une translation (horizontale de la largeur de la photo) donc n’importe quel trait, à gauche, est parallèle à son homologue (translaté), à droite.
Amusant car : « ça ne se voit pas » au départ et « on voit même que ça ne l’est pas ».
Puis on trace les traits (trottoir par exemple) et on efface la photo, et là « ça se voit » que c’est parallèle.
Avec GeoGebra c’est pratique car en un seul clic on efface et on affiche ce que l’on veut.
Pour trouver des figures on peut penser par exemple à approcher une racine carrée d'un nombre entier par une fraction.
Exemple avec $ \frac{7}{4}$ qui est proche de $\sqrt{3}$. Pour la réciproque de Thalès ça donne des figures qui sont quand même plus intéressantes :
Il faudrait un exercice avec des choses simples, des mesures entières raisonnables, des milieux, etc. et où trois droites semblent concourantes.
A l’inverse, les tracés des trois hauteurs du triangle à l’équerre de beaucoup d’élèves sont tellement pourris qu’ils ne constatent quasiment jamais le concours.
8 côtés et 12 côtés : les segments dessinés (joignant des sommets) sont concourants.
15 côtés : non concourants. Et il faut zoomer pas mal pour le voir.
Je vois bien un exercice avec l’octogone.
Puis la mention « mêmes questions pour le dodécagone » puis « mêmes questions pour le pentadécagone ».
Par contre je ne vois pas comment rendre ça accessible au collège (je n’ai pas cherché du tout).
C’est limite si je pense à parler d’équations de droites dans un repère, c’est vous dire comment je m’y prendrais comme un manche. :)o
Les infos ne sont pas écrites alors je précise :
Question : les points $Q, \, U, \, A$ sont-ils alignés ?
Pour le 6-gone, symétrie axiale
Pour le 12-gone, symétrie axiale plus difficile (plusieurs étapes)
Pour le 15-gone, c'est difficile niveau collège, cependant, s'ils connaissent les angles inscrits, on peut y arriver par la trigo:
$BE=\dfrac{\cos(42°)}{\cos(18°)}$ tandis que $BD=\dfrac{\cos(54°)}{\cos(42°)}$
Mais est-ce bien satisfaisant ?
la Calculatrice montrera que les longueurs ne sont pas égales, mais un bon zoom sur Geogebra est alors tout aussi probant, puisque ggb calcule en tâche de fond.
Amicalement. jacquot
La figure proposée par michael est un classique à ne pas louper. Et on peut encore réduire le défaut d'alignement en prenant des termes plus grands dans la suite de Fibonacci.
Une autre figure, toujours en lien avec des approximations de racines carrées :
La base d'un triangle isocèle mesure 8 cm.
La hauteur issue de son sommet principal mesure 7 cm.
Ce triangle est-il équilatéral ?
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$.
Prenons le réseau des points dont les abscisses et ordonnées sont des entiers compris entre $1$ et $n$.
Quelles sont les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ de ce réseau pour que le triangle $ABC$ soit le plus proche possible d'un triangle équilatéral ? Il faudra bien sûr définir la distance entre deux triangles formés sur ce réseau.
Remarquons d'abord qu'il n'existe pas de triangle équilatéral à coordonnées toutes entières dans un repère orthonormé.
Ça se démontre joliment à partir de l'irrationnalité de $\sqrt 3$.
L'idée de la démonstration est de calculer l'aire de deux façons différentes pour en arriver à une contradiction.
Amicalement. jacquot
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/DemoFala.htm
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
Sur la figure de Michael, 5/8 n'est pas égal à 8/13.
Dans le puzzle, le faux paradoxe vient de 8×8 qui n'est pas égal à 5×13 (l'aire du prétendu rectangle).
Algébriquement, le lien est évident, mais géométriquement ?
À quoi ça sert que Fibonacci y se décarcasse ?
e.v.
Il suffit juste connaître l'aire d'un triangle rectangle.
Il me semble qu'on en trouve une variante dans les puzzles mathématiques de Sam Loyd, mais je n'arrive pas à remettre la main dessus.
Ah oui !
@bisam
Je le vois dans le livret Les malices du kangourou, Sam Loyd, ACL, 2015, page 22.
$ABCD$ carré de côté $6$ cm. $E$ situé au quart de $[BC]$ en partant de $B$.
$(BD)$ coupe $(EA)$ en $F$. $(d)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{DFA}$.
La perpendiculaire à $(d)$ passant par $D$ coupe $(EA)$ en G.
Le triangle $DFG$ est-il équilatéral ?
Les angles de ce triangle sont à moins de 1° de 60°, ses côtés différents s'écartent de moins de 1 mm.
Faisable en troisième.
$OA = 1$, $AB=4$, $OB=OC$, $BC=BD$.
À grandeur identique le gain sur l'écart entre deux côtés différents est de l'ordre de 30%.
Ses angles eux sont à moins d'un demi-degré de l'inaccessible 60.
PS : vous avez sûrement dû être amené à prendre conscience qu'un savoir peut un jour ou l'autre disparaître d'une société. Il n'est donc pas invraisemblable de penser que des générations futures, plus soucieuses de se divertir que d'accéder à une certaine rigueur, reconnaissent ce triangle comme véritablement équilatéral, tant il est proche de celui que nous savons être, nous, aujourd'hui, exactement équilatéral.
Ça disait quelque chose comme « Un carré dessiné de côté $1 \ cm$ n’a pas une diagonale qui mesure $\sqrt{2} \ cm$».
Je vais tenter de retrouver ça...
on colle 3 triangles identiques :
ABC, ACD, ADE avec AB = AD = 36, AC = AE = 38 et BC = CD = DE = 13.
Un cercle de centre A coupe AB en F et AE en G.
Le triangle AFG est presque équilatéral.
L'angle FAG mesure 59,9998 degrés.
Bien cordialement.
kolotoko
Jetez tout le travail de ce fil à la poubelle :
« Lorsque la géométrie modélise une situation concrète, ou dans la géométrie dessinée1, les instruments (règle, équerre) peuvent servir à valider une propriété (alignement de points, angle droit). Dans ces cas, les grandeurs sont exprimées par des nombres décimaux : la diagonale d’un carré dessiné de côté 10 cm mesure 14,1 cm, et non pas10?2 cm ! »
Je n’ai fait que copier et coller sans rien modifier. Les symboles (chiffres de référence par exemple) apparaissent donc avec une mise en forme « brute ». Le point d’interrogation est un radical (racine carrée).
Le texte : (deuxième phrase de la page 3)
https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Geometrie_plane/31/2/RA16_C4_MATH_geo_plane_doc_maitre_574312.pdf
Ce n’est pas (ou n’était pas ? je ne sais plus si c’est encore d’actualité...) dans les programmes officiels mais c’est (encore) sur les sites officiels. Il s’agit plutôt de ce que l’on appelle un « document d’accompagnement des programmes ».
La seule « décharge » (gros guillemets mais en fait je n’en pense pas moins) étant que c’est pour « cycle 2 à 4 ».
Un carré dessiné n'est pas un carré, c'est juste un dessin. Aussi n'est-il pas faux de dire que sa diagonale mesure à peu près 14,1 cm si son côté mesure 10 cm. On devrait peut-être dire d'ailleurs "le trait qui représente une de ses diagonales mesure environ 14,1 cm".
La figure de kolotoko aussi est intéressante car la précision sur l'angle FAG obtenu entre en conflit avec celle permise par les instruments qui vont la dessiner. C'est une précision inutile : peu importe que l'objet mathématique possède un angle de 59,3° ou bien de 59,99998° car, sur le papier, la figure jettera le même doute quant à l'équilatéralité du triangle. On peut se contenter d'objets qui différent de la cible de 1 mm pour les longueurs ou de 1° pour les angles, c'est largement suffisant. Et le mieux c'est des figures faciles à construire, car si elles sont trop complexes ça va diminuer l'effet recherché (plus l'élève est persuadé, à partir de la figure, qu'un objet est vraiment un carré par exemple, plus grande sera son acceptation de la nécessité des preuves).
Je le dis au cas où un élève passe par là.
dans un tout autre domaine (le domaine arithmétique) , on connait deux suites de nombres de l'OEIS différentes mais dont les 777 451 915 729 367 premiers termes sont les mêmes.
Bien cordialement.
kolotoko
une figure presque pour la construction de l'ennéagone régulier :
tracer un cercle de rayon 7 unités et à partir d'un point du cercle tracer 9 cordes consécutives de longueurs égales à 9 unités.
Si quelqu'un ou quelqu'une pouvait joindre une figure …
Bien cordialement.
kolotoko
Dans le texte edsucol donnée par Dom il y a un lien vers un article parlant de géométrie dessinée et de géométrie abstraite qui apporte des précisions.
Une même configuration peut servir pour des problèmes différents.
Exemple pour le non concours de trois lignes :
ADE rectangle en D avec AD = 5 cm et DE = 7 cm.
AB = 2 cm et BC = 1 cm.
La perpendiculaire à (AD) passant par B coupe (AE) en F.
Question : le point F est-il sur le cercle de centre C passant par A ?
Cependant le texte est formel : « la diagonale d’un carré dessiné de côté 10 cm mesure 14,1 cm, et non pas10?2 cm ».
Cette petite phrase contient deux erreurs graves : il manque cruellement le terme « environ » d’une part et le « non pas $10\sqrt{2}$ » est faux d’autre part.
J’ai lu le texte de la référence « $1$ » : quelques bêtises encore.
« Camélia, élève de CM2, dessine un carré sur son cahier, mesure sa diagonale et répond 14,2 cm ou quelque chose d'approchant. Le professeur valide sa réponse.».
C’est très ambigu ça. Que signifie « valide sa réponse » ?
Le professeur n’a pas à dire « oui c’est juste ». Dès l’école primaire il doit au moins dire « oui mais rappelle-toi que c’est plutôt environ 14,2 cm ».
Je finis ce message plus tard.
Ludwig, je vais écrire les 777 451 915 729 368 premiers termes de chaque suite et j'enverrai le tout dans 400 000 ans si le forum existe encore .
Patience donc !
Sérieusement, je recherche dans mes docs et j'en reparle.
Bien cordialement.
kolotoko
il faut aller voir dans OEIS les suites A078608 et A129935.
A078608 : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, … et lire les commentaires.
A129935 complète les commentaires.
Bien cordialement.
kolotoko
@ Dom : pour moi c'est simple : le dessin d'un carré étant juste un dessin, la mesure du trait représentant une diagonale de ce carré ne saurait être autre qu'imprécise.
Oui, justement : le fait d’être imprécis oblige à accepter avec précaution la mesure 14,1 cm et oblige à ne pas invalider $10\sqrt{2}$, ni $14,122222..._{et \ que \ des \ 2}$.
Sans parler de la « précision de l’environ » : on s’accorde à dire, à l’école qu’on mesure au millimètre près un segment. Puis, dès que l’on va effectuer des calculs avec ces mesures (périmètre, aire, ...), l’erreur augmente.
Mais tout ce texte d’ailleurs est tellement long et laborieux.
N’est-ce pas plus simple de dire qu’une figure est une représentation de l’objet abstrait.
C’est tout.
Pourquoi broder ?
On lit qu’il s’agit d’un professeur mais aussi d’une « chercheuse en didactique ». Franchement, le truc est simple : on a un objet théorique et on le représente.
Je préconise d’écrire des consignes plus claires :
Au lieu de « tracer », je préfère « représenter » dans un énoncé.
Évidemment les facilités de langage à l’oral autorisent « tracer ».
D’ailleurs, « tracer une droite » m’apparaît impossible, alors que « représenter une droite » est simple et précis.
Bon, parenthèse fermée. Revenons à nos moutons ;-)
Les élèves doivent comprendre que dès qu'on sort sa règle, d'une certaine manière ce ne sont plus des maths. Et ça c'est très difficile à comprendre au 1er trimestre de 6ème, c'est même un choc pour certains. Il y aurait matière à changer un peu le vocabulaire comme le dit dom dès la maternelle. Mais j'ai rencontré peu de collègues qui font la distinction, donc en primaire j'imagine le pire.
On ne fait plus des maths quand on sort ça règle ? Une insulte à tous les arpenteurs de nos contrées ça, qui ont tant apporté aux maths.
Le trouble engendré par un dessin (ce point est-il bien à cet endroit ? cette longueur est-elle bien égale à 4 ?) est un levier puissant pour montrer l'intérêt des preuves, et il est largement inexploité dans les livres. Or il y a pas grand chose à changer : plutôt que de demander "calculer telle distance", il suffit de poser une interrogation liée à cette valeur. Mais pour ça il faut bien choisir les figures.
Pour les arpenteurs il y a d'abord la théorie puis la pratique, ou bien le contraire si tu veux, ne pas confondre les deux. Je ne vois pas à qui je manque de respect en disant cela.
Tu parles d'un levier, oui, un levier pour faire des maths. Mais ce n'est que mon avis. Il y a longtemps que je n'attends plus rien des livres.
[small]Voyons, on ne peut rien invalider au voisinage de cette valeur (exacte).
Là où c’est grave c’est qu’il dit « ça mesure 14,1 cm » é-pi-cé-tout !
Même 14,2 cm ne serait pas admis ?
Là où majax a raison c’est que déjà parler en $cm$ c’est de la physique et certainement pas des maths.
Mesurer avec du matériel n’est pas des maths sauf si on cherche une valeur approchée. On doit bien pouvoir PROUVER qu’une mesure est valide à une erreur près (enfin, en acceptant un modèle qui traduit « mesurer »).
Et ce n’est pas grave de ne pas être des maths.
Ça ne veut pas dire qu’il faut interdir les règles, équerres et rapporteurs en cours de mathématiques. [/small]
Si c'était aussi simple, Dom, on ne rencontrerait pas d'écueil en l'enseignant ainsi. Or, je pense que tu seras d'accord avec moi sur la difficulté de comprendre ça pour un-e collégien-ne [size=x-small](1)[/size] (pas seulement en 6e).
Que ce soit la notion d'"objet théorique" ou celle de "représentation", ça n'a rien de simple, il me semble.
Je ne vais pas défendre la position tenue dans les passages que tu as cités (loin s'en faut, je me suis même longuement accroché avec un IPR et deux formatrices à ce sujet lors de la mise en place des derniers programmes du collège), pour autant, il ne me semble pas absurde, au collège, d'insister sur la différence entre "géométrie dessinée" et "géométrie abstraite" (quels que soient les noms qu'on leur donne) pour clarifier les choses et, justement, faire entendre aux élèves cette notion de représentation d'un objet théorique.
Situation vécue $x$ fois ($x > beaucoup$) :
on va dire à un élève/une classe "attention, tu fais une mesure, elle est imprécise, tu ne peux pas affirmer que la longueur $AB$ est de $3~cm$. Tu peux seulement dire que cette longueur est proche de $3~cm$, environ $3~cm$" (supposons que la figure était en vraie grandeur). Trois exercices plus loin, on demande de tracer un triangle $ABC$ tel que $AB = 3~cm$. Combien de fois un-e élève m'a posé la question : "mais madame, je ne peux pas tracer un segment de $3~cm$, ça va forcément être imprécis".
Pourquoi, quand on mesure, on doit dire "environ" et quand on demande de tracer, on ne dit plus "environ" ? C'est une question rhétorique, il va sans dire. Je pense que tu vois ce que je veux dire, de toute façon.
Par ailleurs, combien de prof de math vont insister sur l'imprécision d'une mesure mais n'utiliseront pas $\approx$ dans leur correction d'exercices sur les mesures d'angles en 6e ?
En ce sens, il me semble tout à fait légitime que des des didacticien-ne-s se penchent sur le sujet, c'est leur boulot (quoi qu'on en pense, d'ailleurs).
[size=x-small](1) J'utilise l'écriture inclusive depuis une bonne quinzaine d'années, y compris sur ce forum. Avant qu'on en parle à tout va dans les media (aux alentours de 2017 si ma mémoire est bonne), je n'ai jamais eu de remarque à ce sujet. Merci, donc, de garder vos qualificatifs à base de "moutons", "bien-pensance" et autres pour vous.
Je rappelle, si besoin, que je me contre-carre de l'avis de l'académie française qui n'a aucun pouvoir décisionnaire, ni aucune légitimité pour dicter à qui que ce soit comment il-elle doit écrire. Pour débattre de tout ça, merci d'ouvrir un autre sujet dans la section "Vie du forum et de ses membres".[/size]
Je verrais bien un petit programme informatique qui donnerais toutes les constructions à faire sur une demi-feuille A4, avec les contraintes suivantes :
- les dimensions données sont entières;
- tracés de base : parallèles, perpendiculaires, cercles, carrés, triangle isocèle, équilatéral.. milieu
- disons pas plus d'une dizaine d'instructions,
le but étant de trouver des figures presque... avec un "presque" très grand, disons moins d'un dixième de mm pour les longueurs et un dixième de degré pour les angles.
On pourrait choisir les données de base implémentées, par exemple rien que 1 cercle et 4 droites, ou bien la même chose avec les triplets pythagoriciens en plus... etc
Le fait de théoriser cela m’apparaît être une usine à gaz.
Le document proposé au format *.doc n’est pas d’une grande qualité je trouve. J’ai même de la peine si cela rend compte d’un travail de chercheur.
Mais c’est subjectif.
En effet quand l’énoncé demande $AB=5 \ cm$ on doit le représenter et on écrit $5 \ cm$.
C’est justement parce que la représentation est perfectible que l’on écrit cette longueur.
Et oui, si on mesure on ne trouvera peut-être pas tout à fait $5 \ cm$ et ce n’est pas grave.
Personne ne s’offusque quand on dessine naïvement la Tour Eiffel sur un papier brouillon. C’est un représentation de la Tour Eiffel. Personne non plus ne tique quand on représente à la main un angle droit en mettant le codage (carré). Et idem pour un stade de foot aux normes de la FIFA sur wiki où l’on indique les mesures en mètres.
Ce sont toutes des représentations.
Une figure, même à l’échelle n’est qu’une représentation. Elle est juste plus propre, plus « juste » et s’approche un peu mieux de l’objet abstrait qu’un simple croquis réalisé à main levée.
Pour le prof de 6e qui ne réclame pas le « environ » pour les mesures d’angles, c’est simple : il a tort.
je n'ai pas émis d'avis sur la qualité du document proposé, ni sur sa pertinence, ce n'était pas mon propos. Peut-être est-ce une usine à gaz. Ce n'est pas mon propos.
Encore une fois, je pense qu'on sera d'accord sur ces sujets si on en discute.
Je suis seulement en désaccord avec toi lorsque tu affirmes "Franchement, le truc est simple : on a un objet théorique et on le représente." (la mise en gras est de moi).
Je tique sur le qualificatif "simple" que tu utilises. Pour moi, ça n'a rien de simple et c'est ce que je voulais expliquer, indépendamment des textes qui parlent de ça.
Ce que j'essayais d'expliquer : de mon point de vue, ça n'a rien de simple pour des collégien-ne-s, ni même pour des adultes "non matheux", je pense.
Pour une personne $\lambda$ ($\lambda \notin \{matheux\}$), un carré c'est un truc tracé avec quatre côtés tous même longueur et quatre angles droits. Ce n'est pas un objet idéal, théorique.
En ce sens, des représentations de la tour Eiffel ou d'un stade de foot sont très différentes des représentations d'objets mathématiques. D'un côté, tu parles de la représentation d'objets réels, concrets, et de l'autre d'objets mentaux, théoriques.
C'est d'ailleurs probablement une raison de cette difficulté : "dans la vie de tous les jours", les représentations sont celles d'objets réels. Ces trucs existent (ou vont exister) physiquement et on les dessine pour des raisons diverses.
En mathématiques, la représentation sert, quelque part, à donner une existence physique à un objet qui est "purement mental".
Edit tardif :
J'ai oublié ce passage, pardon :
Je le pense aussi mais je ne serai pas aussi catégorique [size=x-small](2)[/size].
Cela dit, qu'ils aient tort ou non n'empêche pas que la grande des collègues avec qui j'ai travaillé (et je suis pas loin de parier que c'est la grande majorité des enseignant-e-s de mathématiques du secondaire) n'emplo(ya)ient pas le "environ" pour les angles mesurés. Alors même qu'ils insistent, comme toi et moi, sur l'imprécision d'une mesure pour, par exemple, justifier l'importance du raisonnement et du fait que "ça se voit sur la figure" n'est pas un argument recevable en mathématiques.
L'argument du nombre n'en est évidemment pas un pour justifier quoi que ce soit. Je l'utilisais seulement pour illustrer mon propos : si c'était si simple, il n'y aurait pas ce genre de confusion/erreur/discussion chez des enseignant-e-s de mathématiques.
[size=x-small](2) Je veux dire par là : si tu en discutes avec tes collègues de sciences expérimentales et technologies, tu devrais constater qu'ils emploient le $=$ pour leurs mesures. Et qu'ils ne posent même pas la question de savoir si une mesure est imprécise ou non. Ils te répondront même peut-être qu'une mesure est précise... dans son intervalle d'incertitude (mot mal choisi, d'ailleurs, car il dénote plutôt une certitude).
Un collègue me disait récemment, je le cite : "Quand on écrit $\mathscr{L} = 3,4~cm \pm 0,1~cm$, on ne fait pas d'erreur ou d'approximation, mais on écrit que la vraie valeur (inaccessible à l'expérience) est comprise entre $3,3~cm$ et $3,5~cm$, avec $100~\%$ de chance !! C'est donc bien une certitude, sans aucun doute possible."
On pourrait donc défendre le point de vue suivant : comme il y a toujours une incertitude associée à une mesure, lorsqu'on écrit $\mathcal{L} = 1,0~m$ l'incertitude est sous-entendue : on indique que la longueur est comprise entre $0,9~m$ et $1~m$. C'est ainsi que mes collègues de SVT, SPC et Technologie voient les choses.
Toutefois, on s'est mis d'accord sur pas mal de trucs comme ça pour avoir une pratique cohérente entre les différentes sciences. Par exemple, ils acceptent de mettre des $\approx$ dans leurs mesures ou de ne plus mettre les unités de mesure seulement en fin de calcul ; de notre côté en mathématiques, on met des titres à tous nos graphiques et on place les points dans un graphique sous la forme $+$ et non $\times$.
Ainsi, tout le monde s'y retrouve sans trop faire de concessions à ce qui fait l'essence de "nos" matières[/size]
Voici une figure. À noter que le $8,991$ résulte du cumul de l'erreur sur 8 reports de la longueur de 9 cm.
Dommage que tu ne saches toujours pas joindre une figure à tes énoncés de géométrie…
Souvenirs, souvenirs...
Amicalement. jacquot