Ensemble de p-listes
$\def\card{\mathrm{card\,}}$Bonsoir,
Il y a un détail de la démonstration qui me tracasse.
Soient $E$ et $F$ 2 ensembles. Si l'élément $x$ peut prendre $m$ valeurs dans l'ensemble $E$ et si, pour chaque valeur de $x$, l'élément $y$ peut prendre $n$ valeurs dans l'ensemble $F$ alors le nombre total de valeurs que peut prendre le couple $(x,y)$ est $m \times n$.
Démonstration :
On note $\{a_1, \cdots a_m \}$ les valeurs prises par $x$. L'ensemble $G$ de tous les couples $(x,y)$ possibles peut s'écrire $G=G_1 \cup G_2 \cup \cdots G_m$ où $G_i$ est l'ensemble des couples $(a_i,y)$.
Pour tout $i$ il y a autant d'éléments dans $G$ que de $y$ c'est-à-dire $n$. Alors $G$ est fini, car réunion d'ensembles finis, et comme la réunion est disjointe, on obtient :
$\card G=\displaystyle \sum_{i=1}^m \card \ G_i = \displaystyle \sum_{i=1}^m n =n \times m$.
Je ne comprends pas pourquoi les $G_i$ sont disjoints alors qu'il ont en commun l'élément $y$.
Puis je ne comprends pas pourquoi pour tout $i$ il y a $n$ éléments dans $G_i$ je dirais $n+1$ en comptant $a_i$
Il y a un détail de la démonstration qui me tracasse.
Soient $E$ et $F$ 2 ensembles. Si l'élément $x$ peut prendre $m$ valeurs dans l'ensemble $E$ et si, pour chaque valeur de $x$, l'élément $y$ peut prendre $n$ valeurs dans l'ensemble $F$ alors le nombre total de valeurs que peut prendre le couple $(x,y)$ est $m \times n$.
Démonstration :
On note $\{a_1, \cdots a_m \}$ les valeurs prises par $x$. L'ensemble $G$ de tous les couples $(x,y)$ possibles peut s'écrire $G=G_1 \cup G_2 \cup \cdots G_m$ où $G_i$ est l'ensemble des couples $(a_i,y)$.
Pour tout $i$ il y a autant d'éléments dans $G$ que de $y$ c'est-à-dire $n$. Alors $G$ est fini, car réunion d'ensembles finis, et comme la réunion est disjointe, on obtient :
$\card G=\displaystyle \sum_{i=1}^m \card \ G_i = \displaystyle \sum_{i=1}^m n =n \times m$.
Je ne comprends pas pourquoi les $G_i$ sont disjoints alors qu'il ont en commun l'élément $y$.
Puis je ne comprends pas pourquoi pour tout $i$ il y a $n$ éléments dans $G_i$ je dirais $n+1$ en comptant $a_i$
Cette discussion a été fermée.
Réponses
Les éléments de $G_i$ sont des couples $(a_i,y)$. L'élément $y$ n'est dans aucun $G_i$.
Il y a $n$ valeurs possibles pour $y$. Les $a_i$ sont des valeurs prises par $x$.
$E=\{a_1,a_2,a_3\}$, $F=\{b_1,b_2\}$.
Peux-tu écrire explicitement l'ensemble $G$ et chaque ensemble $G_i$ ?
> Soient $E$ et $F$ 2 ensembles. Si l'élément $x$ peut prendre $m$ valeurs dans
> l'ensemble $E$ et si, pour chaque valeur de $x$, l'élément $y$ peut prendre $n$ valeurs dans
> l'ensemble $F$ alors le nombre total de valeurs que peut prendre le couple $(x,y)$ est $m \times n$.
Bonjour
Il faut vraiment une démonstration pour ça ?
C'est bien sûr beaucoup plus chic que de compter des carrés de chocolat. Pourtant, je suis sûr que tu sais résoudre l'exercice ci-dessous, tiré de ce fichier.
PS : je n'avais pas lu le début du fil donc j'ai répété la démonstration qui y est donné avec d'autres mots : $G_i$ est l'ensemble des antécédents de $a_i$ par $p_1$.
Soit $y \in F$ alors $G_1=\{ (a_1,y) , y \in \{b_1,b_2\} \}=\{ (a_1,b_1) , (a_1,b_2) \}$
$G_2=\{ (a_2,y) , y \in \{b_1,b_2\} \}=\{ (a_2,b_1) , (a_2,b_2) \}$
$G_3=\{ (a_3,y) , y \in \{b_1,b_2\} \}=\{ (a_3,b_1) , (a_3,b_2) \}$
On voit bien que les $G_i$ sont disjoints, ils n'ont aucun élément en commun.
Math Coss
Je sais que le résultat est évident mais c'est la démonstration théorique qui m'a posé souci.
De plus parler de démonstration théorique c'est une vaste blague. Quand on commence à formaliser pour démontrer quelque chose et bien il faut qu'il y ait quelque chose à démontrer.
Alors je peux te rassurer au Capes on ne te demandera de démontrer un tel truc.
Par ailleurs si un enseignant s'amuse à démontrer ce genre de truc au lycée à ses élèves, alors ils vont fuir les maths à grands pas.
Mais dans le supérieur, on essaye de faire les choses proprement et rigoureusement. Pour le CAPES, ça ne lui sert à rien, on est d'accord donc je lui suggère de laisser tomber. Mais démontrer que $\card(E\times F)=\card(E) \times \card(F)$ mérite une vraie démonstration. A priori, pour montrer des égalités de cardinaux, il faut trouver une bijection, en l'occurence ici entre le produit cartésien $E\times F$ et un ensemble de cardinal $\card(E) \times \card(F)$. Ou utiliser d'autres propriétés ou lemme comme l'a fait Math Coss. Mais dire "évident" donc pas besoin de démontrer, ça n'est pas un argument mathématique. C'est souvent quand on ne sait pas démontrer le résultat que l'on recourt à cette facilité rhétorique.
Dans le même genre, $\card(A\cup
Après je ne suis pas sûr de savoir les refaire dans 10 jours.